Деривативы Turbocharging — дисперсия, выпуклость и все, что между ними

Моя карьера в области количественных финансов началась около 15 лет назад в тель-авивской финтех-компании под названием SuperDerivatives (теперь часть ICE). Их фирменным набором продуктов была удобная для пользователя библиотека ценообразования деривативов, которая могла оценивать что угодно, от ванильных продуктов до ультрасложных экзотических структур. Моя роль там была представителем поддержки, и, учитывая, что тогда я почти ничего не знал о деривативах и квантовом финансировании, это была определенно сложная роль. Поскольку большая часть моего взаимодействия была с профессионалами в области деривативов, мне буквально пришлось выучить совершенно новый язык… В большинстве случаев нормальным разговором было бы что-то вроде «Почему мой <случайный актив> 6-недельный, 30Δ put vol оценивается <0,x> vol пунктов вне межбанковского рынка?» или «Почему мой <Ванна / улыбка дельта / любые греки 3-го ордера, о которых вы можете подумать. > не по цене по сравнению с моей надежной электронной таблицей Excel???»

Проведя несколько месяцев в службе поддержки, я понял, что в квантовых финансах люди говорят о волатильности и греках (греки как в деривативах, а не на греческом языке).

Теперь большинство опционных трейдеров, с которыми вы разговариваете, будут говорить в терминах волатильности, но дело в том, что они думают в терминах дисперсии … Вы, вероятно, думаете, что это по существу одно и то же (потому что vol — это просто квадратный корень дисперсии, верно?), но между ними есть большая разница.

В этой статье мы углубимся в суть дисперсии/волатильности и выпуклости и то, как их характеристики влияют на ценообразование и моделирование опционов. После того, как мы поймем различные особенности, мы пройдем через процесс создания чрезвычайно выпуклого производного продукта с нуля, чтобы проиллюстрировать, как они влияют на риск таких продуктов.

Итак, пусть наше путешествие начнется…

Корни выпуклости и неравенство Дженсена

Если бы вы спросили любого трейдера опционов, что им нравится в этом, вам, вероятно, сказали бы, что именно выпуклость делает опционы (и любой нелинейный продукт) такими интересными. Выпуклость — это «сок», который делает опционы (и другие нелинейные продукты) гораздо более привлекательными, чем владение базовым активом (именно поэтому человек был бы готов платить / требовать больше за покупку / продажу производного продукта). В то время как большинство считает, что выпуклость существует только в нелинейных продуктах, факт заключается в том, что любой производный продукт (включая фьючерсы / форварды) имеет какую-то выпуклость, встроенную в него (поскольку его будущий путь выбирается из случайной выборки). Прежде чем мы углубимся по колено в практическое применение выпуклости в торговле деривативами, давайте сначала поймем, что такое выпуклость…

Функция считается выпуклой, если отрезок линии между любыми двумя точками на графике функции не лежит ниже графа (между двумя точками). Если это определение было немного подавляющим и запутанным, его легче визуализировать с помощью простой функции. Рассмотрим следующие функции: f(x) = x , g(x) = x², h(x) = x⁴

Как мы видим выше, для любых двух точек, которые мы выбираем на оси x, наше значение y будет меньше нашей линейной функции (y=x).

Вся концепция выпуклости хорошо объяснена с помощью неравенства Дженсена (названного в честь Йохана Дженсена). Неравенство Дженсена является жизненно важной частью понимания случайности, волатильности и выпуклости. Любой, кто действительно хочет понять ценообразование и риск деривативов, должен, IMO, начать с понимания интуиции, стоящей за неравенством Дженсена. Так означает ли это неравенство?

Согласно неравенству Дженсена, если x является случайной величиной, а f(x) является функцией случайной величины, то должно соблюдаться следующее неравенство:

Или, говоря простым языком, ожидаемое значение функции f(x) ВСЕГДА больше (или равно) функции ожидаемого значения переменной x. Если вы все еще не до конца уверены в том, что это неравенство сохраняется, давайте рассмотрим следующий пример:

Предположим, что мы хотим оценить опцион CALL по индексу XYZ (уровень индекса = 100) со ценой исполнения (k) = 100, и единственная информация, которую мы имеем во время = 0 (т. Е. Сегодня), заключается в том, что значение на момент истечения срока действия может быть одним из следующих: 80, 90, 100, 110, 120.

Предположим также следующую функцию выплат:

f(x) = max(x-k,0), где k=цена исполнения

Теперь мы можем вычислить как E[f(x)], так и f[E(x)] и посмотреть, сохраняется ли неравенство:

Ну, мы можем очевидно видеть, что средняя выплата по опциону колл больше, чем выплата среднего результата в конце срока погашения; следовательно, он удовлетворяет неравенству Дженсена.

Одним из ключевых побочных продуктов этого неравенства является «временная стоимость» опционов. Поскольку мы оцениваем опционы, предполагая случайное блуждание (броуновское движение, выборка случайных приращений), и поскольку мы видим, что при любом условии ожидаемое значение функции выплаты будет положительным до истечения срока действия (учитывая достаточно большую выборку), опцион будет иметь «временное значение» (главным образом потому, что мы не предполагаем, что вероятный результат будет СРЕДНИМ результатом, и предположить некоторую выпуклость в будущей цене). Если мы хотим визуализировать это, давайте посмотрим, как поведет себя значение колл-опциона по мере приближения к истечению срока действия.

Вообще говоря, можно сказать, что корень выпуклости в деривативах заключается в том, что их цены выводятся с помощью стохастического процесса (т.е. x=случайная величина). Если мы возьмем наш базовый процесс, который в основном является броуновским движением, мы увидим, что выпуклость в цене по существу является функцией случайности (выраженной волатильностью). Чтобы выразить это более ясно:

Это означает, что изменение S (спотовая цена) = ожидаемое значение S + срок высокого ордера (или, случайная величина * волатильность). Чем выше наша волатильность, тем больше влияние термина «высокий ордер» на конечное значение S. Чтобы подчеркнуть это, возьмем два случая:

  1. σ (годовая волатильность) = 10%
  2. σ = 20%

Как мы видим, при σ=20% вариация конечного значения S намного больше, чем σ=10%, что, как следствие, увеличивает временное значение опционов (так как наше значение растет со скоростью = σ*sqrt(dt))

Итак, теперь мы можем обнаружить два основных источника выпуклости в производных:

  1. Функция выплаты (т.е. нелинейная выплата)
  2. Базовая динамика процесса, которая управляется дисперсией и временем (чем больше один из них, тем выше стоимость наших производных)

Последним источником выпуклости, который по существу сочетает в себе как нелинейность производных продуктов, так и лежащую в их основе динамику процесса, являются факторы риска (греки) продуктов. Если мы подумаем о дельте и гамме, мы можем ясно видеть, что их нелинейность является источником выпуклости. Если вы не полностью продали эту идею, возьмем следующий пример:

Мы покупаем 1-недельный опцион 3% OTM call на акции ZYX (предположим vol=10%). Вскоре после того, как мы покупаем дальний колл-опцион OTM (помните, что это на 3% от рынка), базовая акция движется на 1% (из-за покупки толстым пальцем кого-то, кто хотел купить акции XYZ). Давайте посмотрим, как цена и дельта (чувствительность цены опциона к базовому) реагируют на это движение:

Так что же на самом деле здесь произошло, вы, наверное, спросите…

По мере того, как базовая цена двигалась выше к нашему страйку, ожидаемая цена наших акций двигалась выше. Кроме того, учитывая, что цена опциона отражает вероятность того, что опцион окажется в ITM (при допущении нормального распределения), вероятность увеличилась нелинейным образом (движение на 1% более чем утроило стоимость нашего опциона в процентном выражении). Это изменение является прямым результатом двух очень важных вариантов греков — Дельта и Гамма. Построение обоих w.r.t для пятна в основном рассказывает историю о том, как они оказывают огромное влияние на выпуклость в нелинейных продуктах (таких как варианты).

Учитывая, что и Дельта, и Гамма нелинейны по своей природе, им не требуется слишком много времени, чтобы «вмешаться», как только базовый двигатель движется и влияет на стоимость опциона. Другими словами, они выступают в качестве рычага опциона (по сравнению с владением базовым активом).

Волатильность, дисперсия и аддитивность

До сих пор мы видели, как функция выплаты на нелинейных продуктах и характеристика случайного процесса создают выпуклость. Теперь мы собираемся выделить еще одну очень важную особенность дисперсии, которая лежит в основе ценообразования на деривативы — Аддитивность.

Хотя мы в основном измеряем (и говорим) волатильность, правильным способом измерения отклонения в финансовых активах является использование дисперсии (vol²), и хотя это кажется довольно незначительной модификацией, она далеко не незначительна.

Причина, по которой мы привыкли измерять с точки зрения волатильности, заключается в двояком IMO:

  1. Формула ценообразования опционов Блэка-Шоулза выражает параметр флуктуации в пересчете на стандартное отклонение (волатильность) в годовом исчислении
  2. Нам легче конвертировать ежедневную доходность цен на активы в годовую волатильность (т.е. 1% переходит к 16% объема с использованием «правила 16»), так как все растет со скоростью sqrt(t)

Чтобы понять, почему мы должны вообще мыслить дисперсионными терминами, давайте на мгновение вернемся к урокам математики в средней школе и вспомним основы «Алгебры случайных величин».

При объединении двух распределений (в нашем случае сложении) нам нужно использовать дисперсию выборки следующим образом:

Если мы предположим, что два распределения независимы друг от друга, мы можем переписать сумму двух распределений как Var[X+Y]= Var[X]+Var[Y]

Это, к сожалению, не может быть сделано на стандартном отклонении (волатильности), поэтому дисперсия — это правильный способ, которым мы должны измерять отклонение и работать в пространстве деривативов.

Давайте рассмотрим три широко используемых варианта использования дисперсии в торговле деривативами:

  1. Форвардно-волатильностная торговля

Одной из наиболее широко используемых торговых стратегий в пространстве волатильности является форвардно-волатильностная торговля (FVA в валютном пространстве, фьючерсы VIX в пространстве акций). Форвардная стратегия по существу принимает взгляд на уровень форвардной волатильности (либо через FVA, которая истекает в ванильный опцион, либо через фьючерс VIX, который истекает в наличных деньгах). Давайте рассмотрим, как рассчитывается форвардная волатильность:

Где:

T2 = внутреннее время до истечения срока действия, T1 = время истечения срока действия, t = дата валютирования (0), K = страйк (atm или в термине Δ)

Как мы видим, прямой объем между истекает T1, T2 выводится из средневзвешенной дисперсии (а затем квадратного корня, чтобы получить волатильность). Этого нельзя было бы сделать, если бы мы вместо этого использовали волатильность.

Давайте рассмотрим следующую структуру терминов волатильности, чтобы лучше понять ценообразование типичного FVA.

Предположим, мы хотим оценить форвардный 2-месячный банкомат (начиная с 1 месяца). Учитывая, что мы знаем, что 3-месячный vol = 17,6% и 1-месячный vol = 17,3%, мы можем вывести форвард 1×3 FVA:

FVA(1×3) = sqrt[(17,6²*90–17,3²*30)/(60)] = ~17,75

2. Цены на дисперсионный своп

Variance Swap — удивительный продукт IMO, и хотя он имеет отношение к выпуклости, причина, по которой я упоминаю его, заключается в том, что VarSwap является прекрасным примером того, почему с дисперсией гораздо легче работать, чем с волатильностью. Давайте начнем с базового введения в то, что такое VarSwap (хотя я думаю, что большинство читателей уже знают его наизусть).

VarSwap — это форвардный контракт, который выплачивает разницу между реализованной дисперсией актива (скажем, S & P500) и заранее определенным ударом. Если мы хотим вывести на рынок нашу позицию VarSwap, это относительно простая формула:

Поскольку мы можем видеть тот факт, что дисперсия (в отличие от vol) является аддитивной во времени, мы можем вычислить наше значение VarSwap как средневзвешенное между реализованной и подразумеваемой дисперсией. Кроме того, из-за его аддитивности во времени мы можем раскручивать открытые сделки VarSwap без учета реализованных исправлений (что нельзя сделать с эквивалентным VolSwap). По сути, компенсация риска VarSwap очень похожа на ванильный вариант по своему поведению, что делает его превосходным продуктом. Чтобы продемонстрировать разницу между VarSwap и VolSwap, возьмем следующий пример:

Мы инициируем два 1-месячных контракта (оба длинные), VarSwap и VolSwap, на одном и том же ударе (очевидно, невозможно, но давайте предположим, что у нас плоская улыбка…). Таким образом, мы открываем длинные оба свопа со скоростью σ = 16%. В течение первых девяти дней (из 20) рынок вообще не движется (дневная доходность равна 0), поэтому мы решаем остановиться на нашей торговле и продать 11-дневные ПРЯМЫЕ свопы на оставшуюся сумму веги и тот же vol strike (по какой-то причине vol остался прежним).

Из-за нашего очень невезения, на следующий день после того, как мы продали наши свопы, рынок начал двигаться на 2% в день в течение следующих 11 дней, давайте посмотрим на общую производительность наших свопов

Как мы видим, прямая продажа VarSwap полностью закрыла нашу экспозицию, в то время как продажа VolSwap обнажила нас еще больше (т.е. вообще не компенсировала наш риск). Это произошло именно по причине аддитивности (которая и отличает дисперсию и волатильность).

3. Корреляционная торговля

Много можно сказать и написать о корреляции и преимуществах диверсификации в построении портфеля (MPT, APT и CAPM, чтобы назвать несколько), но в торговле деривативами, как и в большинстве случаев, вместо того, чтобы использовать корреляцию в качестве параметра, мы можем торговать ею как активом (очень похоже на волатильность). Такие продукты, как корреляционный своп (FX), дисперсионный своп (акции) и корзинные опционы, по сути, позволяют трейдерам торговать подразумеваемой / реализованной корреляцией так же, как торгуется волатильность. Давайте рассмотрим, как рассчитывается волатильность портфеля (двух активов):

Где Cov(i,j) = ρ(i,j) σ(i)σ(j)

Как мы видим, волатильность нашего портфеля является побочным продуктом дисперсии активов и ковариации, что означает, что мы можем изолировать ковариацию и по существу торговать корреляцией. В FX трейдеры волатильности часто используют парную торговлю, чтобы воспользоваться подразумеваемой корреляцией неправильной оценки. Если у нас есть ликвидные торгуемые опционы на валютных парах, мы можем легко поддержать подразумеваемую корреляцию от них следующим образом:

Теперь вы, наверное, скажете: «Это круто и все, но как это связано с выпуклостью?». Если мы посмотрим на взаимосвязь между тремя дисперсиями и корреляцией, мы увидим нелинейную зависимость, что означает, что чувствительность нашей подразумеваемой корреляции к изменению одного из подразумеваемых уровней волатильности приведет к выпуклому движению корреляции (подумайте об этом как о ставке кредитного плеча на подразумеваемую волатильность …). Это понятие может быть распространено на акции, где дисперсионные сделки (либо в форме свопов, либо ванильных сделок) широко используются, чтобы воспользоваться премией за корреляционный риск (в основном для продажи исторически завышенной корреляции). Очевидно, что тема корреляционной торговли может быть легко обсуждена в течение гораздо более длительной статьи (что я и сделаю когда-нибудь в будущем…)

Создание предельной выпуклости в пространстве деривативов

До сих пор мы видели, как волатильность / дисперсия связана с выпуклостью в пространстве деривативов, и как использование дисперсии (вместо волатильности) позволяет нам использовать различные аспекты торговли волатильностью / корреляцией. Теперь давайте попробуем создать с нуля конечный продукт, который предлагает океан выпуклости…

Первым шагом является создание базового актива с нулевым дрейфом и около 20% объема (назовем акции XYZ). Поскольку мы хотим пользоваться преимуществами диверсификации, мы затем объединим еще 49 базовых активов (не обязательно акций), которые имеют ту же волатильность, но их средняя корреляция составляет -0,2 в индекс (мы будем называть не-SP50) и продавать его на CME-подобной бирже, чтобы запустить фьючерсы на индекс (и, возможно, найти инвестиционный фонд для создания ETF позже). Этот индекс будет иметь пониженную волатильность по сравнению со своими составляющими, поэтому пенсионным фондам и управляющим активами он понравится.

Теперь, когда мы торгуем фьючерсами / ETF, мы можем перейти к началу торговли опционами на фьючерсы (в идеале приличная цепочка опционов, которая будет иметь ликвидность в широком диапазоне ударов и истекает). Цепочка опционов позволит нам создать VIX-подобный индекс волатильности (то есть своего рода 30-дневный дисперсионный своп-индекс vol). Поскольку мы не можем реально торговать «спотовым» индексом, нам нужно будет создать полосу фьючерсов (которые действуют очень похоже на FVA или форвард-форвардную волатильность). Теперь вы, вероятно, говорите: «Да…, но это действительно недостаточно выпуклости для меня, мой фонд стремится сделать х1000 доходностей, поэтому нам нужно больше, можем ли мы иметь какое-то дополнительное кредитное плечо?»

Вот где все действительно может сойти с ума…

Итак, у нас есть фьючерсы на Форвард-старт VarSwap, это связано с опционами на будущее, это связано с индексом, это… ну, вы знаете, к чему это приведет, верно?

Мы можем сделать его еще более выпуклым в выигрыше, если мы предложим ванильные опционы на это будущее (так что наша основа внезапно становится волатильностью будущего), или, если мы действительно хотим сойти с ума, мы можем назвать наш стол структурирования французских банков и структурировать какую-то странную ноту, которая зависит от движения в реализованной корреляции между составляющими базового индекса…

Во всяком случае, я попытался подчеркнуть, что создание выпуклости из любого случайного актива (активов) довольно легко, если мы понимаем механизм и то, как генерируется кредитное плечо в производных продуктах.

Источник