Многомерный масштабированный броуновский мост

На фьючерсном рынке обычно наблюдается, что фьючерсные цены могут отклоняться от спотовой цены базового актива. Как было показано в предыдущей статье, разница между фьючерсными и спотовыми ценами, называемая базисом, может быть положительной или отрицательной, но, как ожидается, сойдется к нулю или почти нулю по истечении срока действия фьючерсного контракта.

Для каждого базового актива существует несколько фьючерсов с разными сроками погашения (от 1 месяца до года). И для каждого фьючерсного контракта существует один базисный процесс. Поэтому, когда мы рассматриваем все различные спотовые активы и связанные с ними фьючерсы, существует большое количество базисных процессов.

Более того, эти стохастические процессы явно зависимы. Во-первых, спотовые активы, такие как серебро и золото, могут быть (возможно, сильно) коррелированы. Во-вторых, фьючерсы, написанные на один и тот же базовый актив, явно обусловлены общим источником случайности, среди других факторов. Для любого, кто торгует фьючерсами (на один и тот же базовый актив или разные активы), очень важно понимать зависимость между этими процессами.

Многомерный масштабированный броуновский мост

Это побуждает нас разработать новую модель, чтобы зафиксировать совместную динамику стохастического базиса из разных базовых активов и разных фьючерсных контрактов. Как только эта модель построена, мы применяем ее к динамической торговле фьючерсами, как изучается в этой статье.

Многомерный масштабированный броуновский мост (MSBB) представляет собой стохастическую модель непрерывного времени, описываемую следующим многомерным стохастическим дифференциальным уравнением (SDE):

где

и W состоит из броуновских движений.

На самом деле, Z — это N-мерный процесс, в котором каждый компонент представляет собой броуновский мост в 1-мерном масштабе:

SDE для многомерного масштабного броуновского моста имеет уникальное решение

Здесь мы использовали сокращенное обозначение диагональной матрицы: diag (ai ) = diag(a₁ , . . . , a_N).

Средняя функция Z определяется выражением

где

А ковариационная функция равна

На рисунке 1 показаны смоделированные траектории Zи F для двух пар фьючерсов и базовых активов (т.е. N = 2). Здесь каждая Z является логарифмической основой (т.е. .log (F / S)) для соответствующего актива и фьючерсного контракта. Графики для (Zt,1) и (Zt,2) также показывают 95% доверительные интервалы логарифмических базисов.

Эти графики демонстрируют две характеристики бревенчатых оснований. Во-первых, они возвращаются к среднему в том смысле, что любое отклонение от их среднего значения исправляется. Во-вторых, они частично сходятся к нулю в конце торгового горизонта (T = 0,25), о чем свидетельствует сужение доверительных интервалов. Действительно, (Zt,1) и (Zt,2) являются броуновскими мостами, которые сходятся к нулю при T₁ = 0,27 и T₂ = 0,254 соответственно. Эта конвергенция не реализуется, так как торговля останавливается на T = 0,25 в данном конкретном примере.

С тех пор, Zt | Z₀ — многомерная нормальная случайная величина, это означает, что

имеет распределение хи-квадрат с N степенями свободы. Это соотношение используется для получения 95% доверительных областей Zt, представленных пунктирными синими эллипсами. Эти графики также иллюстрируют частичную сходимость логарифмических баз в конце временного горизонта.

Симуляция

Решение SDE для многомерного масштабного броуновского моста фактически поддается алгоритму моделирования. Мы обращаемся к статье за подробностями, но основная идея состоит в том, чтобы дискретизировать временной горизонт в M временных шагах, смоделировать независимые гауссовские случайные величины и поместить их в нужные места следующим образом:

Для любых обозначений, не описанных в настоящем документе, пожалуйста, обратитесь к документу ниже.

Заключение

Для торговых систем, которые включают в себя несколько фьючерсов и активов, крайне важно правильно зафиксировать зависимость между ценовыми процессами. MSBB, описанный в настоящем документе, предназначен для моделирования совместной динамики между фьючерсами и их спотовыми активами. Благодаря решению стохастического дифференциального вопроса эту модель легко смоделировать. С помощью смоделированных образцов траекторий можно проверить эффективность торговых стратегий.

Ссылка

Т. Леунг и Б. Ангоштари, Оптимальная торговля корзиной фьючерсных контрактов [pdf; ссылка], Анналы финансов, 2020

Страница Linkedin // Домашняя страница

Источник