Коэффициент Шарпа

  • Коэффициент Шарпа: риск доходности
  • Вероятностное соотношение Шарпа

Коэффициент Шарпа: риск доходности

Инвестирование в актив — это не только его доходность.

Следующие две гипотетические инвестиции принесли 40%. Что лучше?

Поскольку отдача идентична, мы должны искать ответ в другом месте. Путь, который каждый из них прошел, чтобы достичь этих 40%, — это одно из мест, где можно искать различия между ними.

BLACK «шевелится» намного больше. Вы, наверное, уже знаете, что покачивание — это плохо.

Вот несколько причин, почему:

  1. Это делает удержание BLACK намного более болезненным. Конечно, иногда он превосходит GREEN (сентябрь 2019 г.). Однако он часто отстает (июль 2020 г.). И мы знаем из теории перспектив / отвращения к потерям (Канеман), что печаль от потерь перевешивает счастье от приобретений. Убытки перевесят прибыль, что сделает любой опыт удержания неприятным. Любой, кто торговал, может подтвердить это.
  2. После всех этих покачиваний, разве не кажется «удачей», что ЧЕРНЫЙ вернулся таким же, как и ЗЕЛЕНЫЙ? И тогда кажется, что BLACK может быть где угодно, в то время как GREEN, похоже, делает устойчивый прогресс. В результате колебания делают нас менее уверенными в наших будущих инвестициях.
  3. Что, если нам вдруг понадобятся деньги? BLACK колеблется так сильно, что может упасть, когда нам понадобятся деньги, что вынудит нас закрыть позицию в убыток.

К настоящему времени ясно, что «покачивание» здесь представляет собой риск, и мы можем ответить на наш первоначальный вопрос более четко: BLACK — худшая инвестиция, чем GREEN, несмотря на то, что она вернула то же самое, потому что она взяла на себя гораздо больший риск, чтобы получить эту прибыль.

Нам нужна метрика производительности, которая отражает это. Простой % возврата терпит неудачу.

Эффективность инвестиций с поправкой на риск

Для начала мы должны количественно оценить риск. Наша метрика риска должна отражать наше интуитивное понимание того, что если график доходности сильно колеблется, как BLACK, возникает больше неопределенности / боли / удачи, и, следовательно, он более рискованный.

Одним из самых простых и распространенных методов является вычисление стандартного отклонения доходности, также известного как волатильность.

Просто разделите доходность на волатильность, чтобы получить показатель производительности с поправкой на риск. Это называется коэффициентом Шарпа (SR). Коэффициент 252 используется для годового исчисления Шарпа, предполагающего ежедневную доходность. Мы используем 252, потому что в году 252 торговых дня (без учета выходных и праздничных дней). Например, если бы мы использовали ежемесячные доходы, мы бы использовали 12, а не 252.

Шарп ЗЕЛЕНЫЙ против ЧЕРНОГО был рассчитан как 2,0 против 0,5. В итоге можно сказать, что коэффициент Шарпа «работает». Это отражает нашу интуицию, что GREEN является лучшей инвестицией, даже если это непознаваемо на основе доходности.

Это достигается за счет включения волатильности, чтобы определить, какую прибыль вы фактически зарабатываете на единицу принятого риска.

Чтобы помочь вам понять, что измеряет коэффициент Шарпа, я построил график трех гипотетических инвестиций с увеличением Шарпа: 2, 5 и 20 Шарпа. Колебания кривой становятся меньше по мере увеличения Шарпа. 20 Sharpe — это, по сути, прямая линия, идущая вверх и вправо. В масштабе 20 Шарпа было бы чрезвычайно трудно захватить, и он представляет собой почти идеальный арбитраж.

Реалистичные цифры Шарпа

Итак, что же представляет собой реалистичный или хороший Шарп?
SPY (ETF, который отслеживает акции компаний с большой капитализацией в США) имеет 20-летний индекс Шарпа около 0,45. Мы хотели бы, по крайней мере, соответствовать этому. Уоррен Баффет, один из самых известных инвесторов в мире, имеет долгосрочный коэффициент Шарпа около 0,75. Коэффициенты Шарпа хороших хедж-фондов находятся в диапазоне 1–2. Отличные будут стремиться к долгосрочным коэффициентам Шарпа 2–4.

Шарпы для создания портфолио

Таким образом, коэффициенты Шарпа полезны для оценки автономных инвестиций.
Возможно, что еще более важно, они позволяют вам оценивать инвестиционные комбинации (т.е. построение портфеля).

Чтобы продемонстрировать этот момент, рассмотрим пример ниже.

КРАСНЫЙ или СИНИЙ — равные инвестиции Шарпа (SR = 2) с одинаковой волатильностью и риском: что лучше?

Это вопрос с подвохом. Ни! Когда КРАСНЫЙ зигзаг, СИНИЙ зигзаг, и наоборот, можно найти лучшее портфолио в этом наборе возможностей. У них «противоположные» покачивания. Разве мы не могли бы «отменить» колебания, снизить риск и получить более высокий портфель Шарпа, если бы объединили эти две инвестиции?

Это именно то, что PURP делает ниже. Это смесь КРАСНОГО и СИНЕГО 50/50. Выглядит намного стабильнее.

В то время как Шарп из КРАСНОГО и СИНЕГО был 2, у PURP колоссальный Шарп — 5!

В результате коэффициенты Шарпа позволяют нам количественно оценить, насколько хорошо различные инвестиции работают в портфеле. Это тоже было бы неизвестно по возвращениям.

Шарп конкретизирует часто загадочный термин «диверсификация» следующим образом: эффективная диверсификация должна приводить к тому, что Шарп целого больше, чем Шарп компонентов.

Кванты часто ищут стратегии, которые имеют низкую или отрицательную корреляцию, и эффективно комбинируют их для создания моделей с высоким уровнем Шарпа. Даже если отдельные Шарпа не массивны, при правильном сочетании общий эффект может быть очень мощным.

Высокая отдача против Хай Шарпа

На приведенном ниже графике показаны более высокие инвестиции Шарпа (HIGH_SR) и более высокая доходность (HIGH_RET). Что лучше? Хотя гладкость HIGH_SR привлекательна, «мы не можем съесть Шарпа» и у нас будет больше денег в карманах, если мы инвестируем в HIGH RET. Так, может быть, HIGH RET предпочтительнее?

Чтобы ответить более четко, мы должны сначала понять кредитное плечо. Кредитное плечо — это процесс заимствования денег, чтобы инвестировать больше, чем у вас есть. Вот что происходит, когда вы берете ипотеку на покупку дома.

Пример. Допустим, у меня есть 100 долларов для инвестирования. Это и есть мой «собственный капитал». Затем я занимаю еще 100 долларов, чтобы в общей сложности инвестировать 200 долларов в HIGH_SR. Тогда мое кредитное плечо удваивается. Теперь я зарабатываю 2 доллара или 2% на свой собственный капитал за каждый 1% увеличения HIGH SR. Напротив, на каждые -1% изменения в HIGH_SR я теряю 2/2% долларов. Долларовый PnL и доходность акций фактически удваиваются. Волатильность, как и следовало ожидать, увеличилась вдвое. Акции Шарпа остаются неизменными, поскольку доходность и волатильность удваиваются.

Так разве мы не можем просто увеличить HIGH_SR портфель, чтобы получить равную или более высокую доходность, чем HIGH_RET, сохраняя при этом высокий показатель Шарпа?

На приведенном ниже графике показано HIGH_SR, умноженное на 2x (HIGH_SRX2) и 3x (HIGH_SRX3). Как видите, мы можем использовать кредитное плечо для поддержания плавности и высокого Шарпа HIGH_SR при этом достигая такой же или более высокой доходности, чем HIGH_RET.

Заключение

Доходность важна в инвестировании, но не менее важен и риск. Коэффициенты Шарпа — это показатель эффективности инвестиций с поправкой на риск, который показывает, как вы вознаграждаетесь за риск. Его можно эффективно использовать для оценки инвестиций и инвестиционных портфелей.

Вероятностное соотношение Шарпа

«Хотя асимметрия и эксцесс не влияют на точечную оценку коэффициента Шарпа, они сильно влияют на его доверительные диапазоны и, следовательно, на его статистическую значимость» Бейли и Лопес де Прадо¹

0. Введение

В прошлой статье мы объяснили недостатки использования центральной предельной теоремы (CLT) и среднего значения и стандартного отклонения для вычисления точечной оценки коэффициента Шарпа.

Сегодня мы снова разберем почитаемый коэффициент Шарпа (SR), показатель, который широко использовался в течение десятилетий для измерения эффективности инвестиций по отношению к риску.

Но, как и в случае с любым проверенным методом, крайне важно поставить под сомнение его эффективность и изучить инновационные альтернативы. Именно здесь в игру вступает вероятностное соотношение Шарпа (PSR), разработанное Бейли и Лопесом де Прадо¹.

Что вы узнаете:

  • Общие сведения об ограничениях коэффициентов Шарпа
  • Основы PSR и почему вы должны его использовать
  • Реализация PSR в коде Python
  • Как сделать «более справедливое» сравнение инвестиционных фондов SR

Почему стоит прочитать:

  • Улучшенная оценка рисков
  • Оптимизация портфеля
  • Принимайте более взвешенные и обоснованные решения

В этой статье мы углубимся в ограничения коэффициента Шарпа, познакомим вас с концепцией PSR и проведем вас через его реализацию на Python. Поэтому, если вы хотите улучшить свое понимание показателей риска и производительности, вы находитесь в правильном месте.

1. Ограничения коэффициента Шарпа

Коэффициент Шарпа уже давно является основным показателем для оценки эффективности инвестиций по отношению к риску. Тем не менее, он далек от совершенства и имеет свой собственный набор ограничений.

Если стратегия имеет избыточную доходность (премия за риск), а доходность (r) независима и одинаково распределена (IID), где N представляет собой нормальное распределение со средним значением (mu) и дисперсией (sigma²).

Как впервые ввел Шарп, точечная оценка коэффициента Шарпа (шляпа СР) может быть оценена как⁸:

Формула коэффициента Шарпа. mu — средняя арифметическая доходность, сигма — стандартное отклонение, rf — безрисковая ставка

Точечная оценка

Возможно, самый большой недостаток коэффициента Шарпа заключается в том, что он является точечной оценкой и предполагает Центральную предельную теорему (CLT). Хогг и Танис сообщили, что CLT, как правило, может применяться для образцов, превышающих 30 наблюдений³.

Независимо от количества точек данных, используемых для оценки коэффициента Шарпа, основная проблема заключается в том, что точечная оценка ничего не говорит нам о том, насколько вероятно, что истинное распределение портфеля действительно превосходит конкретный бенчмарк.

Предполагает нормальное распределение

Одно из фундаментальных допущений коэффициента Шарпа состоит в том, что доходность инвестиций нормально распределена. Часто это не так, особенно это касается хедж-фондов и альтернативных инвестиций.

Ненормальные распределения могут иметь асимметрию и эксцесс, которые точечная оценка коэффициента Шарпа полностью игнорирует. Это важно при тестировании гипотез и поиске статистической значимости между доходами стратегии.

Неадекватны для нелинейных стратегий

Коэффициент Шарпа в первую очередь предназначен для портфелей, в которых соотношение риска и доходности является линейным. Хедж-фонды часто используют нелинейные стратегии, которые могут привести к асимметричным профилям риска. Это делает коэффициент Шарпа менее надежным для таких инвестиционных подходов.

наказывает за волатильность в сторону роста

Справка: ООО «Ред Рок Капитал»

Коэффициент Шарпа наказывает за любую волатильность, не делая различий между восходящими и нисходящими. Для многих инвесторов волатильность роста не только приемлема, но и желательна.

Это ограничение может привести к недооценке привлекательности тех или иных стратегий. Альтернативным показателем может быть коэффициент Сортино, но это выходит за рамки темы сегодняшнего разговора.

Чувствителен к временным рамкам

Коэффициент Шарпа чувствителен к временным рамкам данных, используемых для его расчета. Использование дневных, ежемесячных или годовых отчетов может дать совершенно разные результаты. Такая чувствительность затрудняет сравнение стратегий с разными инвестиционными горизонтами.

Сводка

Ограничения метрики коэффициента Шарпа:

  • Точечная оценка доходности портфеля.
  • Предполагает нормальное распределение доходов.
  • Неадекватен для нелинейных стратегий.
  • Наказывает за все формы волатильности.
  • Чувствителен к выбранному таймфрейму.

Несмотря на то, что коэффициент Шарпа предлагает упрощенный способ оценки риска и выгоды, важно понимать его ограничения. Это создает почву для альтернативных показателей, таких как вероятностный коэффициент Шарпа (PSR), который решает многие из этих проблем.

2.0 Введение в вероятностное соотношение Шарпа (PSR)

В мире количественных финансов оценка эффективности инвестиционной стратегии является ключевой. Несмотря на то, что коэффициент Шарпа является основным показателем для многих, у него есть заметные ограничения. На сцену выходит вероятностное соотношение Шарпа (PSR), передовая альтернатива, разработанная Маркосом Лопесом де Прадо и Дэвидом Бейли¹.

Предположение о нормальной доходности IID

В статье, опубликованной в «Статистике коэффициентов Шарпа» (The Statistics of Sharpe Ratios), предполагая, что независимая и идентично распределенная (IID) нормальная доходность с асимметрией 0 и эксцессом 3, оценивается коэффициент Шарпа будет следовать нормальному распределению со стандартным отклонением⁴:

Асимптотическое распределение оценки СР (СР шляпа)
Оценка стандартного отклонения оценки коэффициента Шарпа с нормально распределенной доходностью

В формулировку PSR включены асимметрия и эксцесс, два критических статистических момента, игнорируемых коэффициентом Шарпа. И вот тут становится еще интереснее: несмотря на эти моменты более высокого порядка, распределение PSR все еще можно считать нормальным.

Мертенс⁵, Кристи² и Опдайк⁶ опубликовали статьи, описывающие асимпототическое статистическое распределение для оценки коэффициента Шарпа (SR hat). Они ослабили предположения о нормальности и независимости, связанные с ненаблюдаемым процессом, генерирующим отдачу, и только укрепили общие предположения о стационарности (процесс инвариантен во времени) и эргодичности (средний результат группы является тем же самым средним результатом для индивидуума).

Гамма 3 и 4 являются 3-м и 4-м моментами серий возвратов, асимметрией и эксцессом соответственно

Мартенс показал, что можно отказаться от предположения о нормальности доходности, и все же расчетный коэффициент Шарпа по-прежнему будет соответствовать нормальному распределению⁵. Кристи также продемонстрировал оценку коэффициента Шарпа с помощью дополнительных ослабленных допущений и позволил доходам иметь последовательную корреляцию, не-IID и изменяющиеся во времени условные волатильности, используя метод модели гауссовой смеси (GMM) для получения предельного распределения². Опдайк⁶ доказал, что результаты Мартенса и Кристи на самом деле идентичны¹.

Хорошо, но скажите мне, почему это важно?

Это означает, что, хотя коэффициент Шарпа следует нормальному распределению, даже если доходность этого не делает, комбинации асимметрии и эксцесса в распределении доходности ВЛИЯЮТ на стандартное отклонение оценки коэффициента Шарпа. Ниже приведен график, показывающий влияние распределений доходности портфеля с асимметрией и эксцессом и соответствующее влияние на стандартное отклонение оценки коэффициента Шарпа.

Стандартное отклонение коэффициента Шарпа, рассчитанное с помощью моделирования по методу Монте-Карло для 1000 портфелей с идентичным коэффициентом Шарпа (1) со случайным наклоном и эксцессом.

Таким образом, асимметрия и эксцесс распределения доходности абсолютно важны и влияют на доверительные интервалы оценки коэффициента Шарпа¹. Как предполагают Бейли и Лопес де Прадо, это должно быть в центре внимания инвестора, склонного к риску.

Основываясь на этом, PSR Бейли и Лопеса де Прадо продвигает эту область, интегрируя асимметрию и эксцесс в формулу для метрики коэффициента Шарпа, тем самым обеспечивая более полную и детальную картину профиля риска инвестиций¹.

В следующих разделах мы углубимся в математическое выведение PSR и его реализацию на Python, вооружив вас инструментами для внедрения этой расширенной метрики.

3.0 Доверительные интервалы коэффициента Шарпа

«Хотя асимметрия и эксцесс не влияют на точечную оценку коэффициента Шарпа, они сильно влияют на его доверительные полосы и, следовательно, на его статистическую значимость»

Итак, мы знаем, что асимметрия и эксцесс влияют на стандартное отклонение коэффициента Шарпа, но насколько? Поскольку распределение вокруг оценки коэффициента Шарпа соответствует нормальному распределению с дисперсией, как описано в предыдущем разделе, мы получаем следующее среднеквадратическое отклонение оценки относительно нашей оценки коэффициента Шарпа¹.

Предполагаемое стандартное отклонение оценочного коэффициента Шарпа (как описано в статье Бейли и Лопеса де Прадо). n-1 – поправка Бесселя.

Благодаря асимптотическому статистическому распределению мы можем построить доверительные интервалы для оцениваемого коэффициента Шарпа.

Это утверждение описывает, что истинный коэффициент Шарпа (SR) ограничен нашей оценкой (SR hat) с уровнем значимости (alpha). Эти интервалы могут быть двусторонними, нижними односторонними или верхними односторонними, и они подробно описаны ниже.

двусторонний
нижняя односторонняя
верхняя односторонняя

Где Z — критическое значение из стандартного нормального распределения, а сигма — стандартная ошибка оценки SR.

Пример Python: доверительные интервалы

from scipy.stats import norm

# Estimated Sharpe Ratio (SR) and number of observations (N)
SR_hat = 1
N = 8

# Calculate Standard Deviation of Sharpe Ratio (Std Dev SR)
def standard_deviation_sharpe_ratio(sharpe_ratio, num_obs, skewness=0, kurtosis=3):
«»»Estimates standard Deviation of Sharpe Ratio

Parameters:
— sharpe_ratio: Sharpe ratio of the strategy
— bench_sharpe_ratio: Sharpe ratio of the benchmark
— num_obs: Number of observations
— skewness: Skewness of the strategy returns (default 0)
— kurtosis: Kurtosis of the strategy returns (default 3)

Returns:
— std_dev: Standard Deviation of Sharpe Ratio
«»»
return np.sqrt(
(1 — skewness*sharpe_ratio +
(kurtosis-1)/4*sharpe_ratio**2
) / (num_obs-1)
)

# Portfolio Returns with Normality
sigma_hat_normal_returns = standard_deviation_sharpe_ratio(sharpe_ratio=SR_hat,
num_obs=N,
skewness=0,
kurtosis=3)

# Portfolio Returns with Non-Normality
sigma_hat_higher_moments = standard_deviation_sharpe_ratio(sharpe_ratio=SR_hat,
num_obs=N,
skewness=-3.5,
kurtosis=10)

def two_sided_confidence_intervals(sharpe_ratio, standard_deviation, confidence_level):
«»»Sharpe Ratio two-sided confidence intervals

Parameters:
— sharpe_ratio: Sharpe ratio of the strategy
— standard_devation: Standard Deviation of Sharpe Ratio
— confidence_level: level of confidence (fraction: i.e. 0.90 for 90%)

Returns:
— lower_bound: two-sided lower bound
— upper_bound: two-sided upper bound
«»»
# Two-sided (1-alpha)% Confidence Interval
alpha = 1 — confidence_level
Z_alpha_over_2 = norm.ppf(1-alpha/2) # 95% CI

lower_bound = sharpe_ratio — Z_alpha_over_2 * standard_deviation
upper_bound= sharpe_ratio + Z_alpha_over_2 * standard_deviation

return lower_bound, upper_bound

lower_norm, upper_norm = two_sided_confidence_intervals(SR_hat,
sigma_hat_normal_returns,
0.95)

lower_non_norm, upper_non_norm = two_sided_confidence_intervals(SR_hat,
sigma_hat_higher_moments,
0.95)

# Print the confidence intervals
print(f»Normally Distributed; Two-sided 95% CI: [{lower_norm:2.4f}, {upper_norm:2.4f}]»)
print(f»Non-Normally Distributed; Two-sided 95% CI: [{lower_non_norm:2.4f}, {upper_non_norm:2.4f}]»)

Создать эти интервалы в Python очень просто, как показано выше. Эти доверительные интервалы помогают оценить надежность оценки коэффициента Шарпа. При сравнении обоих портфелей с одинаковым коэффициентом Шарпа, равным 1, мы обнаруживаем, что портфель с нормально распределенной доходностью имеет гораздо более низкие доверительные интервалы по сравнению с портфелем с отрицательной асимметрией и большим положительным эксцессом на уровне достоверности 95%.Normally Distributed; Two-sided 95% CI: [0.0927, 1.9073]
Non-Normally Distributed; Two-sided 95% CI: [-0.9246, 2.9246]

Более высокий и более низкий уровни достоверности ненормально распределенного портфеля показывают, как асимметрия и эксцесс при ограниченном числе наблюдений могут привести к значительному раздуванию простой точечной оценки коэффициента Шарпа.

Доверительные интервалы для обоих портфелей по мере увеличения количества наблюдений.

Как видно из графика, количество наблюдаемых доходностей и статистические свойства базового распределения доходности сильно влияют на доверительные интервалы вокруг оценки коэффициента Шарпа.

Основной вывод, который мы хотели бы здесь сделать, заключается в том, что на оценки коэффициента Шарпа большое влияние оказывают следующие статистические признаки:

  • Ненормальность: асимметрия и эксцесс
  • Пониженная детализация: благодаря агрегации возвратов

Для инвестора, склонного к риску, этот пример иллюстрирует важность учета асимметрии и эксцесса при использовании коэффициента Шарпа при выборе портфеля.

4.0 Математический вывод вероятностного коэффициента Шарпа (PSR)

Чтобы в полной мере оценить мощь вероятностного коэффициента Шарпа (PSR), давайте углубимся в его математические основы. Вспомним формулу, разработанную Бейли и Лопесом де Прадо:

где Φ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения, SR — коэффициент Шарпа, SR* — эталонный коэффициент Шарпа, n — количество наблюдений, а асимметрия (gamma3) и эксцесс (gamma4) — третий и четвертый стандартизированные моменты соответственно.

Бейли и Лопес де Прадо опираются на впечатляющую работу Ло⁴, Мертенса⁵, Кристи² и Опдайка⁶, чтобы создать вероятностную метрику, основанную на том, что распределение коэффициента Шарпа остается нормально распределенным даже после включения асимметрии и эксцесса.

Интеграция асимметрии и эксцесса выводит PSR за рамки традиционных метрик. Асимметрия отделяет положительные выбросы от отрицательных, добавляя уровень оценки риска. Эксцесс измеряет жирные хвосты, помогая нам предвидеть экстремальные рыночные события, которые часто игнорируются коэффициентом Шарпа.

Теперь у нас есть более надежный инструмент для оценки рисков и эффективности. Сложность формулы поначалу может показаться ошеломляющей, но в следующем разделе мы упростим ее для вас с помощью реализации на Python.

5.0 Учебник по Python: Реализация вероятностного коэффициента Шарпа (PSR)

Хорошо, вы разобрались с теорией, теперь давайте запачкаем руки кодом! В этом разделе мы реализуем вероятностное соотношение Шарпа в Python, что даст вам практический инструмент для добавления в ваш набор инструментов для квантовых вычислений.

Требования:

  • Python 3.x
  • NumPy
  • SciPy

Вы можете установить необходимые пакеты с помощью pip, если вы еще этого не сделали:pip install numpy scipy

Шаг 1: Импорт библиотек

import numpy as np
from scipy.stats import norm

Шаг 2: Определите функцию PSR

def probabilistic_sharpe_ratio(sharpe_ratio, bench_sharpe_ratio, num_obs, skewness, kurtosis):
«»»
Calculates the Probabilistic Sharpe Ratio

Parameters:
— sharpe_ratio: Sharpe ratio of the strategy
— bench_sharpe_ratio: Sharpe ratio of the benchmark
— num_obs: Number of observations
— skewness: Skewness of the strategy returns
— kurtosis: Kurtosis of the strategy returns

Returns:
— psr: Probabilistic Sharpe Ratio
«»»

sr_diff = sharpe_ratio — bench_sharpe_ratio
sr_vol = standard_deviation_sharpe_ratio(sharpe_ratio, num_obs, skewness, kurtosis)
psr = norm.cdf(sr_diff / sr_vol)

return psr

С помощью всего нескольких строк кода вы получите функцию, которая вычисляет PSR. В качестве параметров функция принимает коэффициент Шарпа (SR), эталонный коэффициент Шарпа (SR*), асимметрию, эксцесс и количество наблюдений (N).

Шаг 3: Пример расчета

# Sample data
SR = 0.5 # Your strategy’s Sharpe Ratio
Bench_SR = 0.3 # Benchmark Sharpe Ratio
skewness = -0.2 # Skewness of your strategy
kurtosis = 3.5 # Kurtosis of your strategy
N = 252 # Number of observations (trading days in a year, for example)

# Calculate PSR
PSR_value = probabilistic_sharpe_ratio(SR, Bench_SR, N, skewness, kurtosis)
print(f»Probabilistic Sharpe Ratio: {PSR_value}»)

После определения функции я включил пример вычисления. Замените образцы данных собственной стратегией и эталонными показателями, чтобы получить персонализированное значение PSR.

Интегрируя эту функцию Python в свой количественный рабочий процесс, вы сможете оценивать свои инвестиционные стратегии через призму вероятностного коэффициента Шарпа. Это обеспечивает более детальное и всестороннее представление по сравнению с традиционным коэффициентом Шарпа.

6.0 Сложный, но реалистичный пример…

На графике ниже показаны два портфеля с абсолютно одинаковым истинным коэффициентом Шарпа 1,5:

  1. Возвраты нормально распределены (iid)
  2. Доходы ненормально распределены (iid) с асимметрией ~ -1,2 и эксцессом ~ 5,3

Смесь двух гауссов может быть использована для создания распределения как с асимметрией, так и с эксцессом, что позволяет более реалистично моделировать финансовую отдачу. Ниже на графике gmm (синее распределение) показана модель гауссовской смеси между двумя нормальными распределениями с вероятностью примерно 8% выборки из Гаусса 2 и 92% из Гаусса 1. Результирующее распределение доходности имеет существенные ненормальные статистические признаки, однако оно имеет точно такой же коэффициент Шарпа 1,5, как и в нормально распределенном портфеле, выделенном красным цветом.

Пример двух портфелей с одинаковым коэффициентом Шарпа (1,5), но один из них ненормальный, с отрицательным перекосом и высоким эксцессом. Моменты распределения возвратов более высокого порядка влияют на доверительные интервалы для вычисления коэффициента Шарпа.

Несмотря на то, что оба портфеля имеют одинаковый коэффициент Шарпа, в зависимости от количества наблюдений за доходностью у нас будут очень разные уровни достоверности наших оценок.

Допустим, мы рассматриваем оба портфеля, и у нас есть только 2 года квартальной доходности, чтобы оценить коэффициент Шарпа. Всего будет 8 точек данных. Следующий код позволяет нам смоделировать портфели на основе их соответствующих истинных распределений и визуализировать результаты. На графиках ниже показана приблизительная оценка:

  • Коэффициенты Шарпа,
  • вероятностный коэффициент Шарпа,
  • Доверительные интервалы и
  • Моменты высшего порядка (асимметрия и эксцесс).

import numpy as np
import scipy as sc
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

benchmark_sr=0
no_obs=8
means=np.array([0.6, -0.3])
std_devs=np.array([0.25, 0.3])
SR = np.array([1.5])
along_axis = np.hstack((SR, means, std_devs))
probs = generate_p_along_axis(along_axis)

print(f»Probability for GMM is {probs}»)

mean=0.4
normal = np.random.normal(loc=mean, scale=mean/1.5, size=no_obs)
gmm1 = generate_gmm_data(means, std_devs, weights=[probs, 1-probs], n_samples=no_obs)

sharpe_ratio0 = np.mean(normal)/np.std(normal)
skew0 = sc.stats.skew(normal)
kurt0 = sc.stats.kurtosis(normal)
psr0 = probabilistic_sharpe_ratio(sharpe_ratio0, benchmark_sr, no_obs, skew0, kurt0+3)
sigma0 = standard_deviation_sharpe_ratio(sharpe_ratio0, no_obs, skew0, kurt0+3)
confinv0 = two_sided_confidence_intervals(sharpe_ratio0, sigma0, 0.95)

sharpe_ratio1 = np.mean(gmm1)/np.std(gmm1)
skew1 = sc.stats.skew(gmm1)
kurt1 = sc.stats.kurtosis(gmm1)
psr1 = probabilistic_sharpe_ratio(sharpe_ratio1, benchmark_sr, no_obs, skew1, kurt1+3)
sigma1 = standard_deviation_sharpe_ratio(sharpe_ratio1, no_obs, skew1, kurt1+3)
confinv1 = two_sided_confidence_intervals(sharpe_ratio1, sigma1, 0.95)

def displot(data, sharpe_ratio, psr, skew, kurtosis, confinv):
sns.displot([data], kind=’kde’, fill=True, rug=True, legend=False, alpha=0.15, height=5, aspect=1.5)
plt.legend([‘kernel density estimate (kde)’,’data points (returns)’], loc=’lower left’, bbox_to_anchor=(1, 0))
plt.xlabel(‘returns’)
plt.suptitle(f’Portfolio SR {sharpe_ratio:2.3f} PSR {psr:2.3f}’, y=1.05, fontsize=16)
plt.title(f’Confidence Intervals: [{confinv[0]:2.3f}, {confinv[1]:2.3f}]; Moments ~ Skew: {skew:2.3f} Kurt: {kurtosis+3:2.3f}’, fontsize=10)
plt.show()

displot(normal, sharpe_ratio0, psr0, skew0, kurt0, confinv0)
displot(gmm1, sharpe_ratio1, psr1, skew1, kurt1, confinv1)

Нормально распределенный портфель имеет расчетный коэффициент Шарпа 1,38 после всего лишь 8 доходностей.

Наше первое наблюдение — в этом конкретном моделировании — состоит в том, что нормально распределенный портфель после всего лишь 8 наблюдаемых доходностей имеет оценочный коэффициент Шарпа 1,38, что очень близко к истинному коэффициенту Шарпа, равному 1,5.

Для сравнения, для ненормально распределенного портфеля мы имеем завышенную оценку коэффициента Шарпа 2,59. В первую очередь это связано с низкой вероятностью риска снижения (~8% вероятности) возврата от гауссовой 2-й части распределения. Имея всего 8 точек данных, наша выборка не дает точного представления о риске снижения портфеля и привела к завышенной оценке нашего коэффициента Шарпа, а также нашего вероятностного значения коэффициента Шарпа.

Ненормально распределенный портфель имеет завышенный коэффициент Шарпа 2,59 после всего лишь 8 доходностей.

Это наблюдение естественным образом наводит нас на мысль:

«Какой длины должен быть послужной список, чтобы иметь статистическую уверенность в том, что его коэффициент Шарпа выше заданного порога?» Бейли и Лопес де Прадо¹

Этот вопрос мы рассмотрим в следующей статье.

7.0 Резюме

В этой статье мы углубились в нюансы вероятностного коэффициента Шарпа (PSR), предложив более полный объектив для оценки эффективности портфеля. Основываясь на оригинальной работе Лоо, Мертенса, Кристи и Опдайка, Бейли и Лопес де Прадо создали метрику, которая учитывает стандартное отклонение и неопределенность, связанные с оценкой коэффициента Шарпа даже из портфелей с истинными распределениями, которые ненормально распределены.

Коэффициенты Шарпа в значительной степени зависят от статистических признаков, таких как ненормальность и пониженная гранулярность, поэтому Бейли и Лопес де Прадо рекомендуют принять:

  1. Вероятностный коэффициент Шарпа (PSR): Включив метрику PSR в наш анализ, мы учитываем ненормальные характеристики, которые могут повлиять на статистическую значимость нашей оценки коэффициента Шарпа. Таким образом, используя PSR, мы можем снизить частоту обнаружения ложных срабатываний (ошибок I рода).
  2. Высокочастотная отчетность: Для портфелей с нежелательными статистическими характеристиками в документе предлагается самая высокая частота отчетности, которая не нарушает предположение IID (Independent and Identically Distributed), повышая надежность показателей эффективности.

Бейли и Лопес де Прадо также создали фреймворд для определения минимальной длины послужного списка, необходимой для статистической уверенности в том, что коэффициент Шарпа превышает заданный порог. Об этом мы поговорим в следующей статье!

Ссылки

  1. Бейли Д.Х., Лопес де Прадо, М. Коэффициент Шарпа Эффективная граница. Журнал риска. 2012; 15(2). DOI: 10.2139/SSRN.1821643
  2. Кристи С. Полезен ли коэффициент Шарпа при распределении активов. Научные труды ФК No31Центр прикладных финансов, Университет Маккуори. 2005. DOI: 10.2139/SSRN.720801
  3. Хогг Р., Танис Э. Вероятность и статистический вывод. Пирсон. 9-е изд., 2013.
  4. Ло А. Статистика коэффициентов Шарпа. Журнал «Финансовые аналитики». 2002; 58(4): 36–52. DOI: 10.2469/faj.v58.n4.2453
  5. Мертенс Э. Дисперсия оценки IID в Lo (2002). Препринт, Базельский университет. 2002.
  6. Опдайк Д. Сравнение коэффициентов Шарпа: так где же p-значения?. Журнал «Управление активами». 2007; 8(5): 308–336. DOI: 10.1057/palgrave.jam.2250084
  7. Роллингер Т.Н., Хоффман С.Т. Сортино: «более резкое» соотношение. Красная скала. 2016. http://www.redrockcapital.com/Sortino__A__Sharper__Ratio_Red_Rock_Capital.pdf
  8. Шарп В. Коэффициент Шарпа. Журнал «Управление портфелем». 1994; 21(1): 49–58. DOI: 10.3905/JPM.1994.409501

Источник

Источник