Uniswap Insights

Часть 1

Новые открытия с Uniswap v3

Развитие Uniswap v3 породило универсальную AMM, способную воспроизводить множество интригующих структур выплат[1]. Здесь мы рассмотрим пример одной из таких уникальных выплат, которая обеспечивает использование концентрированной ликвидности.

The TLDR:

  • Такие инструменты, как Uniswap Analytics и Yewbow, могут помочь определить объем торгов, в котором генерируются комиссии LPing.
  • Статистический инструмент рекуррентных графиков (код доступен в приложении) может выявлять закономерности ценовых диапазонов, чтобы помочь найти повторяющиеся точки, которые минимизируют потери дивергенции.
  • +/- 84% ценовой граничный диапазон оптимизируется для ненаправленного максимального диапазона, чтобы избежать выпадения за пределы при минимальном использовании капитала (эффективности капитала) для позиций LP.

Быстрый визуальный обзор v3:
Давайте визуализируем, как ведет себя позиция LP на Uniswap v3 с помощью небольшой симуляции, любезно предоставленной файлом desmos[2] Ламберта:

Если цена колеблется между границами, общая стоимость позиции LP растет с различными комиссиями.

Обычная структура выплат Uniswap v3 является вогнутой (в форме холма). Имеет смысл входить и выходить в том же соотношении, в котором вы вошли, оставаясь в нижней и верхней границах, но что происходит, когда вы остаетесь в позиции LP в течение более длительного времени? Предположим, вы входите в позицию LP X/ETH, где X — это токен, который коррелирует с ETH. Иногда он превосходит ETH, а иногда уступает, поскольку другие покупают и продают X на рынке.

Чем дольше вы ждете, тем больше вероятность того, что вы отклонитесь от текущей цены входа.

Как видно из выпуклости анимации распределения выше, чем больше времени проходит, тем больше расширяется пространство вероятностей X/ETH (волатильность развивается с квадратным корнем из времени). Это повышает вероятность того, что у вас будет потеря дивергенции, если вы выйдете в случайный момент времени, когда соотношение X/ETH не совпадает с тем, с которым вы вошли. С другой стороны, вы зарабатываете гонорары как LP, соскальзывая с этого расходящегося холма. Это основной компромисс, с которым сталкиваются LP.
Как удержаться на холме, чтобы избежать потери дивергенции? Математически можно стремиться к пулу X/Y, который имеет высокие комиссии, высокую торговую активность и высокую вероятность пересмотра первоначальной цены, чтобы иметь возможность закрыть позицию LP.
Токен X также должен быть тщательно изучен с точки зрения протокольного риска (Euler недавно был взломан, несмотря на шесть профессиональных аудитов), риска командной / должной осмотрительности (мошенничество / мошенничество / модели коврика заслуживают изучения), потому что, если с X происходит что-то рискованное и цена X падает, то позиция LP в значительной степени распределяется на X по мере расхождения цены.

Суть LPing на Uniswap тогда сводится к следующему:

1). Выясните, где происходит объем торгов.

2). Выясните, где цена возвращается к исходному соотношению, чтобы минимизировать потери от дивергенции. Я называю это соотношение точкой повторения.

3). Выберите оптимальный диапазон, чтобы свести к минимуму использование капитала и максимизировать диапазон. В качестве базовой стратегии мы обнаружим с помощью некоторых расчетов, что +/- 84% — это предел для наших верхней и нижней границ, не имеющий значения для природы стохастического процесса, когда мы не уверены в направлении нашей цены.

Давайте углубимся в каждый из них.

1 — Аналитика объема торгов
На Uniswap LP получает комиссию только тогда, когда происходит сделка. Логично, что больше сделок происходит вокруг активов, которые имеют объем и волатильны в цене.

  • Определить, имеет ли токен объем, можно с помощью инструмента Uniswap Analytics https://info.uniswap.org/#/pools и отсортировать его по столбцу «объем».
  • Еще один интересный подход — сортировка по «подразумеваемой волатильности» с помощью инструмента Yewbow https://info.yewbow.org/#/pools. Подразумеваемая волатильность (IV) рассматривает взаимосвязь между комиссиями и объемом по отношению к общему объему, заблокированному по текущей цене. Обратите внимание, что это не означает, что соотношение риска и доходности этих пар оправданоВажно отметить, что полагаться только на подразумеваемую волатильность может быть опасно, потому что активы, которые обещают чрезмерную комиссионную доходность, скорее всего, слишком хороши, чтобы быть правдой. Таким образом, на очень чрезмерный IV следует смотреть с осторожностью и должной осмотрительностью в отношении пары токенов.

Однако найти пулы с высокими комиссиями и объемом недостаточно. Необходимо учитывать страшную потерю дивергенции.

2 — Точки повторения
В качестве LP хотелось бы максимизировать вероятность повторения / возврата цены, чтобы свести к минимуму потери от дивергенции. Это означает, что кто-то начинает с определенного соотношения X/ETH, такого как 2/1, и захочет вернуться к 2/1 снова в какой-то момент в будущем. Полезным инструментом в статистике для обнаружения рецидивов является просмотр графика повторения[3].
Эти графики позволяют нам увидеть, когда система снова возвращается к определенной точке, такой как соотношение, снова во времени. Давайте сделаем несколько примеров, за которыми последует пример LP, и то, как эти графики повторения могут нам помочь.

2.1 — Простая рекуррентная модель
Давайте посмотрим на повторяющийся график со случаем простой системы, включающей качающийся маятник, который со временем гаснет (синяя линия). Эту простую модель можно рассматривать как нормализацию после обвала рынка, или открытие равновесной цены после запуска нового токена протокола (например, аирдропа Arbitrum), или взлом протокола с его влиянием на цену. Здесь наша система предсказуема, не хаотична, но она также не генерирует больше комиссий LP, поскольку она становится более предсказуемой по мере увеличения времени и закрепления системы на месте. Нет движения цены — нет комиссий за LP.

Недавний запуск токена Arbitrum демонстрирует аналогичную колебательную, а затем затухающую картину.

График повторения справа фиксирует эту закономерность, чем желтее цвет, тем больше вероятность того, что точка будет пересмотрена во времени. По мере того, как система устанавливается в определенном диапазоне, обратите внимание, как она становится ярко-желтой дальше в правом верхнем углу по мере уменьшения дивергенции.

2.2 — Модель хаотического рекуррентности
Однако простота приведенной выше модели не является точным описанием реальности динамики цен. Прежде всего, мы должны отметить, что когда люди покупают и продают токен, покупаемое количество влияет на цену нелинейно. Мы также должны отметить, что, поскольку блокчейн прозрачен, как только цена движется, другие трейдеры могут действовать, LP также замечают это и могут добавлять или удалять ликвидность. Действие по добавлению или удалению ликвидности снова оказывает другое влияние на цену, когда происходит другая сделка. Ценовое воздействие начинает влиять на ценовое воздействие, оно становится самореферентным по своей природе. Простейшая модель, которая является нелинейной и самореферентной, называется логистической картой и порождает хаос.

Нелинейная функция зацикливается сама на себе, приводя к хаосу: https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map

Обратите внимание, однако, что, несмотря на хаос этой системы, у нас были моменты, когда система возвращалась к нашей точке повторения. Давайте воспользуемся графиком рекуррентности, чтобы посмотреть, что происходит, когда мы увеличиваем определенный параметр r уравнения логистической карты x[n+1] = rx(1-x).

Несмотря на наступление хаоса, мы все еще наблюдаем яркие пятна в правом нижнем углу.

Наблюдайте, как рецидив не исчезает полностью. Мы все еще сохраняем некоторые желтые области, поскольку система зацикливается на себе, показывая, что даже в хаотической системе мы все еще можем приблизиться близко к контрольной точке, с которой мы начали. Пластинка была бы заинтригована, услышав это. Помня о природе хаоса, давайте посмотрим на сложную, нелинейную систему, такую как криптография, на живом примере.

2.3 — Реальность повторения
Когда мы смотрим на ETH/USD с 2017 года, мы обнаруживаем, что график повторения почти не загорается, за исключением интервала медвежьего рынка.

Сюжет повторения в значительной степени темный. Неудивительно, что у LP есть проблемы с ETHUSD, числитель (знаменатель) является стабильной монетой. В этих случаях для прогнозирования ETHUSD необходимо использовать более продвинутые модели, такие как ARIMA + GARCH (но это для другой статьи), а также использовать более короткие периоды времени с частым выходом/входом. Вместо этого для нейтрального и пассивного LPing мы можем посмотреть на пулы, где numeraire дрейфует с токеном X. Давайте рассмотрим самый крупный такой кейс — ETH/BTC.

Точки повторения мгновенно загораются (см. приложение, если вы хотите поиграть с кодом графика повторения). Мы можем видеть много повторений между 250–1250 временными шагами и 1300–2000!

Но LP может быть обеспокоен снижением как ETH, так и BTC. Например, у нас может быть такой шок, как COVID, влияющий как на стоимость ETH, так и на BTC. В таком случае мы можем снова использовать наш удобный график повторения, чтобы найти комбинацию, в которой оба токена дрейфуют вместе, а также не падают в цене — стейблкоины. Давайте посмотрим на график повторения USDC/USDT ниже.

Мы обнаруживаем, что есть много рецидивов. В таких случаях мы можем воспользоваться этим, чтобы сконцентрировать ликвидность с помощью uniswap v3.

3 — Выбор оптимального диапазона с помощью Uniswap v3

Когда кто-то концентрирует верхнюю и нижнюю границы (также известные как P_b и P_a или просто b и a), он делает крутой холм структуры выплат LP и в крайних случаях превращает расходящийся холм в обрыв, любезно предоставленный файлом desmos Ламберта:

Широкие границы приводят к более плавному сдвигу стоимости LP при колебании цены.
Высококонцентрированные границы приводят к форме скалы. Чем дольше человек занимает такую должность, тем больше вероятность того, что он окажется за пределами границ и не заработает никаких гонораров LP.

Учитывая граничное ограничение, мы должны выбрать оптимальный диапазон, который гарантирует, что мы сбалансируем максимально возможный диапазон, чтобы мы могли по-прежнему получать комиссионные, максимально эффективно используя капитал. Хейден Адамс предоставил формулу эффективности капитала для Uniswap v3:

Для вывода приведенной выше формулы см. ссылку Ламберта: https://twitter.com/guil_lambert/status/1507163985531047938

Если мы возьмем нижнюю граничную цену (P_a) и верхнюю граничную цену (P_b) и сдвинем их одновременно от текущей цены на процент x:

Переписываем формулу так:

Возьмем производную функции по x:

Мы можем построить график этой зависимости и заметить, что существует пик f'(x) на уровне 84% при эффективности капитала 2,18x. Что это значит? Это означает, что мы можем использовать примерно в два раза меньше капитала, пока мы находимся в диапазоне +/- 84%.

Интерактивная ссылка Desmos: https://www.desmos.com/calculator/ysv2j74j6k

Это также означает, что по мере того, как мы начинаем увеличивать верхнюю и нижнюю границы, чтобы охватить как можно большую часть диапазона, мы замечаем, что выход за пределы 84% становится немного бессмысленным, если мы не уверены в направлении цены. На каждый 1% увеличения мы получаем меньшую отдачу от вложенных средств, вместо этого 84% становится пределом для стратегии LP для балансировки нашей цены, избегающей границ, и эффективности капитала.
Такая консервативная стратегия может иметь смысл для LP, которые беспокоятся о быстрых движениях цен, получая при этом вознаграждение за стейкинг. Обратите внимание, что эта стратегия направлена не на максимизацию комиссий, а на то, чтобы оставаться в пределах диапазона, используя как можно меньше капитала.

  • В части 2 (теперь доступно здесь: https://medium.com/@med456789d/uniswap-insights-part-2-of-6-568632aa4d8 ) мы расширим эту формулу, включив в нее направленность, оставаясь при этом эффективной с точки зрения капитала. Где мы обнаружим, что существует уникальная граница эффективности направленного капитала, аналогичная +/-84% для нашего ненаправленного примера, за пределами которой предоставление ликвидности незначительно бессмысленно.
  • В части 3 (теперь доступно здесь: https://medium.com/@med456789d/uniswap-insights-part-3-of-6-f49aa1e5523c ) мы увидим, как мы можем объединить границу эффективности капитала и работать внутри границ, используя асимметричные распределения, чтобы сосредоточиться на оптимизации доходности.
  • Если вы нашли это познавательным, не стесняйтесь подписаться на этого ежа в твиттере: @CK_2049

Отказ от ответственности: Это исследование предназначено только для общих информационных целей. Фонд Uniswap был достаточно любезен, чтобы спонсировать публикацию ранее частных исследований. Он не является инвестиционным советом, рекомендацией или предложением купить или продать какие-либо инвестиции и не должен использоваться при оценке достоинств принятия какого-либо инвестиционного решения. На него не следует полагаться при получении бухгалтерских, юридических или налоговых консультаций или рекомендаций по инвестициям. Этот пост отражает текущее мнение автора. Мнения, отраженные в настоящем документе, могут быть изменены без обновления.

Приложение

Код для рекуррентных графиков в Python.import math
import numpy as np
import yfinance as yf
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

datausdc=yf.download(«USDC-USD», start=»2017-01-01″, end=»2023-04-21″)
datausdt=yf.download(«USDT-USD», start=»2017-01-01″, end=»2023-04-21″)

data3=datausdc/datausdt

dat=data3[‘Close’]
dat = pd.to_numeric(dat, errors=’coerce’)
dat=dat.dropna()

x = np.array(dat.values)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(10,5))

# Plot the time series in the first subplot
ax1.plot(range(len(x)), x, ‘b-‘, linewidth=.5)
ax1.set_xlabel(‘Time’)
ax1.set_ylabel(‘USDC/USDT Price’)
ax1.set_title(‘USDC/USDT Fluctuations since 2017’)
n_end=len(x)

# Create a recurrence plot in the second subplot
R = np.zeros((n_end, n_end))
for i in range(n_end):
for j in range(i, n_end):
if abs(x[i] — x[j]) < 0.01:
R[i, j] = 1
R[j, i] = 1
ax2.imshow(R, cmap=’viridis’, origin=’lower’, vmin=0, vmax=1)
ax2.set_xlabel(‘Time step’)
ax2.set_ylabel(‘Time step’)
ax2.set_title(‘Recurrence Plot of USDC/USDT’)

# Display the plots
plt.show()
plt.savefig(«usdc/usdt.jpg», dpi=100)

Часть 2

В части 1 мы рассмотрели поиск границ эффективности капитала. В этой статье мы будем искать границы, когда мы оптимистичны или пессимистичны в отношении цены. Мы закончим выяснением того, что нам нужно сделать, чтобы оптимизировать доходность, построив несколько позиций LP в пределах нашей границы с помощью desmos.

The TLDR:

  1. Выберите направленное смещение, искажая границу эффективности капитала.
  2. Разрежьте диапазон LP на несколько позиций LP, чтобы сформировать гистограмму.
  3. Экономьте на расходах на газ. Переставляйте позиции LP одну на другую, а не выстраивайте их, чтобы уменьшить количество позиций LP.
  4. Подгоните позицию LP к своему собственному дистрибуции с помощью desmos.

1. Выберите направленное смещение

Напомним, что в части 1 мы нашли способ сбалансировать эффективность капитала при максимальном увеличении диапазона LP, установив диапазон LP на +/- 84%. Граничный подход 84% не направлен на оптимизацию доходности и не смещен в сторону положительных движений цены. Давайте скорректируем нашу границу смещения направления цены, просто добавив параметр «a» для искаженного представления цены.

Параметр alpha позволяет нам исказить границы эффективности нашей позиции LP.

Чтобы получить исходные 84% границы в части 1, у нас есть a = 1 синим цветом выше. Если мы думаем, что доходность будет двигаться в два раза выше вверх, а не вниз, мы устанавливаем a = 2. Ниже приведена визуализация a=[0… 3]

Наша оптимальная эффективность ограничивается в процентах для сдвига позиции LP, поскольку мы смотрим на цену в направлении.

Если мы думаем, что цена только снизилась, мы можем установить a = 0 и даже обнаружить, что 87% для нижнего ценового диапазона становится максимальной границей эффективности капитала. Предоставление ликвидности сверх текущего соотношения цен незначительно неэффективно.

Посмотрите, как изменение ценового перекоса альфа влияет на границу наименьшей эффективности: https://www.desmos.com/calculator/4zfw9vsnj0

По мере того, как мы увеличиваем перекос, скажем, до 5, наш оптимальный пик смещается до 80% для нижней границы, в то время как верхняя граница смещается до 5×80% = 400%.

Визуализировать границы для каждого возможного направленного смещения сложно в двух измерениях, но если мы создадим третью ось для производной эффективности капитала, мы сможем посмотреть, где она достигает максимума в трех измерениях.

Мы можем найти наши +/- 84% и -80% / +400% на поверхности, а также в красных и зеленых точках соответственно.

Интерактивная 3D-поверхность f'(capital_efficiency): https://www.math3d.org/dxHSLpaZZ

Основной вывод заключается в том, что установление нижней границы p_a ниже 87% неэффективно. Для оптимистов важным выводом является то, что нижняя граница не так чувствительна к перекосу. При перекосе 10 (вы понимаете, что цена может развиваться на 10% вверх на каждый 1% вниз) у вас все еще есть нижняя граница 77%.

В зависимости от нашего уровня оптимизма или пессимизма в отношении того, куда может двигаться цена, мы можем скорректировать границу эффективности с помощью инструмента desmos: https://www.desmos.com/calculator/0l7i8kmukx . Предоставление ликвидности за пределами асимметричного диапазона снижает отдачу от вложенных средств.

Еще один подход к поиску границ

Обратите внимание, что можно также определить максимальный диапазон в зависимости от того, сколько капитала вы решите развернуть в пуле. Мы можем решить уравнение эффективности капитала в обратном порядке. Например, если у кого-то есть портфель в 100 долларов, он может рискнуть только 20 долларами, а остальные 80 долларов хранить в казначейских облигациях с фиксированной ставкой. Цель эффективности капитала «E» становится 100 долларов США / 20 долларов США = 5. Какие границы должны быть заданы при таком смещении a=2?

Уравнение для нахождения границ цены может быть решено для x при известном y (эффективность капитала).
Получаем p_a=-32% и p_b=64% при эффективности капитала 5.

Я также сделал инструмент доступным для расчета границ эффективности здесь: https://www.desmos.com/calculator/a8kt8g6kia

***

Независимо от того, какой подход используется для поиска границ, теперь можно работать в этих границах, чтобы оптимизировать еще больше.

Ну, как мы это делаем? Теперь самое интересное. Мы собираемся нарезать нашу позицию LP!

«Мы нарезаем позицию LP»

-Джерри Сайнфелд-

2. Разделение диапазона на несколько позиций LP

Напомним, что цена имеет тенденцию расходиться с течением времени. Это означает, что он не соответствует форме нашего прямоугольного диапазона, поскольку мы наблюдаем соотношение цен с течением времени. Вместо этого распределение цен рассеивается вокруг цены входа примерно так:

Стохастический процесс X в конечном итоге рассеивается с течением времени. Один прямоугольник не является оптимальным для захвата урожая.

По мере того, как мы удаляемся от нашей стартовой цены, нам нужно будет скорректировать прямоугольную форму. Самый простой способ сделать это — разделить наш прямоугольный диапазон LP на несколько диапазонов и поместить их в дистрибутив. Позиция LP будет интегралом в пределах границы эффективности.

Мы складываем площадь между нижней и верхней границами цены, используя интеграл Римана, а desmos делает все вычисления за нас.
Мы используем -32% и +64% из нашего предыдущего примера с эффективностью капитала на уровне 5 и перекосом на уровне 2.
Интерактивный инструмент доступен https://www.desmos.com/calculator/nab8lx6cbiНа гауссовские распределения не следует полагаться для выбросов, мы рассмотрим лучшие распределения в будущем.

Обратите внимание, как мы создали три позиции LP с тремя весами. Можно было бы распределить капитал в диапазонах и весах, определенных в ссылке desmos. Но этот подход может быть улучшен путем нарезки по вертикали (интегральный подход Лебега вместо Римана).

Подход Лебега не так прост, но он может уменьшить газ и количество позиций LP. Мы рассмотрим, сколько раз мы должны нарезать нашу позицию LP в части 6.

Обратите внимание, что гауссово — это просто базовое распределение игрушек и не представляет некоторые из распределений, которые вы видите в реальном мире. Вы можете попробовать подключить более причудливые дистрибутивы в f(x). Но обратите внимание, что реальный мир немного отличается:

Распределение ликвидности WETH/USDT. Обратите внимание на хвост.
MKR/ETH Обратите внимание на перекос, нам нужно будет использовать асимметрию, чтобы уловить это.

Чтобы захватить эти расширенные распределения, нам нужно будет узнать больше об отпечатках ликвидности и использовать асимметричные логарифмические распределения Лапласа, продолжение в части 3 здесь: https://medium.com/@med456789d/uniswap-insights-part-3-of-6-f49aa1e5523c.

Часть 3 — Распределение ликвидности

TLDR:

  • Распределения Лапласа могут быть использованы для моделирования ликвидности пар X/Y.
  • Подгонка и нарезка позиций LP доступна через desmos: https://www.desmos.com/calculator/h6dk3cvfne
  • Асимметричные распределения логарифма-Лапласа могут соответствовать ликвидности пар X/USD.
  • Инструмент для подгонки и нарезки X/USD доступен через desmos: https://www.desmos.com/calculator/vqnuqbyrqt
Асимметричное распределение Лапласа связано со степенными распределениями: https://www2.seas.gwu.edu/~dorpjr/Publications/JournalPapers/SPL2005.pdf

В части 2 мы рассмотрели вопрос о разделении нашего диапазона на несколько позиций LP. Здесь мы будем использовать ту же концепцию, чтобы смоделировать распределение ликвидности и посмотреть, как мы можем приспособиться к нему, а затем скорректировать риск.

Слева распределение ликвидности ETH/USD отличается от распределения ликвидности ETH/BTC справа.

Напомним, что мы конкурируем с другими LP в том, как будет развиваться цена. Проведите следующий мысленный эксперимент. Предположим, никто не знает, куда пойдет цена, газа не существует, поэтому любой может создать бесконечно много позиций LP, и все хотят оптимизировать доходность и минимизировать риск потери дивергенции. Учитывая, что существуют разные ЛП с разными временными горизонтами, они могут распределять свой прогноз по разным кривым.

Некоторые LP могут выделять на более длительный срок и расширять свой потенциальный прогноз движения цен. Другие LP, которые выделяют на более короткое время, сузят свое распространение. Оба распределения будут пересекаться и обеспечивать ликвидность в пересекаемом диапазоне.
Более склонные к риску LP с тем же временным горизонтом будут распространять свое распределение (темно-синий) относительно тех, кто хочет получить большую доходность, концентрируясь вблизи текущей цены, и подвергать себя большему потенциальному убытку дивергенции (светло-голубой).

Если мы сложим все такие распределения вместе, мы получим распределение ликвидности, которое оказывается похожим на распределение Лапласа.

Распределение Лапласа — https://en.wikipedia.org/wiki/Asymmetric_Laplace_distribution

Для случаев, когда числом является стейблкоин (X/USD вместо X/Y), подходит логарифмическое распределение Лапласа.

Распределение Лога-Лапласа в ценовом пространстве, предполагающее цену $1.

Почему работает Лаплас? Когда волатильность развивается с квадратным корнем из времени, каждый LP, выделяющий на один дополнительный день, должен будет расширить свой прогноз нелинейно, поскольку цена будет расходиться дальше от начала координат. Если мы примем цену в 1 доллар в начале координат и позволим цене затухать с квадратным корнем в любом направлении, то распределение Лапласа в ценовом пространстве окажется совпадающим.

Я использую асимметричное распределение Лапласа, которое имеет дополнительный параметр kappa, чтобы объяснить асимметрию. Например, рассмотрим распределение MKR / ETH ниже, кажется, что оно искажено, поэтому асимметричный параметр в desmos может помочь вам очень хорошо это уловить. Кроме того, параметры лямбда помогают нам уловить волатильность, в то время как mu захватывает центр.

Мы можем комбинировать распределение Лапласа для использования с нашими диапазонами из частей 1 и 2, которые действуют как граница отсечки. Помните, однако, что в реальном мире у нас есть плата за газ, о которой нужно беспокоиться, поэтому мы не можем создавать бесконечно много позиций LP, чтобы идеально соответствовать распределению, вместо этого мы должны оптимизировать ряд дискретных позиций LP с помощью исчисления, используя интегралы Римана, как в части 2. К счастью, я уже построил это в desmos.

Асимметричный перекос с каппой для пары MKR/WETH. Desmos https://www.desmos.com/calculator/h6dk3cvfne
Ссылка на ETH/USD desmos: https://www.desmos.com/calculator/mu6alnatxc

Сумма синих прямоугольников будет равна площади под нашим распределением Лапласа. Создание слишком большого количества прямоугольников будет работать, но это излишне и будет потреблять наш газ, но создание только одного прямоугольника упускает дополнительную доходность, которую мы могли бы получить, разделив наш капитал на несколько позиций LP.

3 позиции LP против 7 позиций LP.

Итак, сколько мы должны создать? Для каждой дополнительной позиции LP, которую мы добавляем, мы собираем меньше дополнительной информации о нашей дистрибуции. Использование трех позиций LP позволяет нам захватить перекос, но недостаточно всей площади под кривой, но переход от семи к восьми не добавляет так много, как переход от шести к семи. Таким образом, минимум для сбора прогноза распределения будет равен трем, но если превысить семь, плата за газ начнет накапливаться, захватив при этом незначительно меньшую часть распределения.

Обратите внимание, что чем более узкое распределение составляет (увеличивает лямбда), тем более вероятен исход потери дивергенции, поскольку больше ликвидности концентрируется в центре (mu). Чтобы избежать этого, можно сгладить верхнюю часть распределения Лапласа, уменьшив размер лямбды или просто скашивая верхнюю полосу в mu.

Урезание этих пиков Лапласа, толкая значение лямбды вниз.

Есть, конечно, много других распределений, которые можно использовать для прогнозирования. Обобщенное гиперболическое распределение (подклассом которого является Лаплас) используется для моделирования событий тяжелого хвоста в финансах, что также может быть полезно здесь: https://en.wikipedia.org/wiki/Generalised_hyperbolic_distribution.
Или с помощью другого дистрибутива из списка сотен из Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions.

Часть 4 — Хеджирование LP

Позиции LP демонстрируют вогнутость (также называемую отрицательной выпуклостью) — ускоренное падение по мере снижения цены и замедление роста по мере роста цен
Пут-опционы демонстрируют выпуклость — ускоренный рост по мере снижения цены и замедленное падение по мере роста цены

TLDR:

В первую очередь два способа простого хеджирования позиции LP и третий сложный способ:

  1. Заимствование базового актива, но это не отменяет вогнутость, так как все равно сохраняется некоторая степень потери дивергенции.
  2. Заимствуя аналогичную позицию LP, здесь можно избавиться от вогнутости, но пока не существует рынка для пользовательских позиций LP.
  3. Совместите позицию LP с опционом пут. Здесь вогнутость временно компенсируется, но со временем наступит потеря дивергенции. Для поддержания хеджирования LP потребуются варианты повторного проката.

Кажется, что бесплатного обеда не бывает, а есть только компромиссы.

1. Займите базовый актив

Вместо того, чтобы выделять 100% на позицию LP, стратегия состоит в том, чтобы выделить только ее часть, а остальная часть используется для короткой продажи актива X, чтобы уменьшить, но не устранить потери от дивергенции. Результатом является преобразование структуры выплат из скалы в холм, как показано Гийомом Ламбером:

desmos-файл Гийома Ламбера для совмещения short + LP: https://www.desmos.com/calculator/669zg1rmvb

Atiselsts.eth также предлагает подход динамического хеджирования, предполагающий частую покупку и продажу по мере движения цены: https://atise.medium.com/liquidity-provider-strategies-for-uniswap-v3-dynamic-hedging-9e6858bea8fa. Это очень интересный подход, но динамическое хеджирование в основной сети потребует больших комиссий, поэтому уровень 2 может действительно служить полезной цели для LP, но имейте в виду, что более низкие комиссии обычно связаны с централизацией, как мы недавно видели с ошибкой Arbitrum, приводящей к остановке L2 [https://www.coindesk.com/tech/2023/06/07/arbitrum-temporarily-stopped-processing-due-to-software-bug/].

2. Займите позицию LP — более простой подход

Природа позиции LP заключается в том, что она вогнута. Используя простой интерактивный пример позиции LP полного диапазона ниже:

Значение позиции LP полного диапазона Uniswap выделено синим цветом. Изменение цены красным цветом. Расхождение между LP и удержанием под осью x. Интерактивная ссылка Desmos — https://www.desmos.com/calculator/cntuhfqang

Если цена основного актива движется вниз, то убытки ускоряются. Чтобы отменить это, можно позаимствовать такую позицию, и она идеально подошла.

Кнопка «Одолжить LP» включена в desmos— https://www.desmos.com/calculator/cntuhfqang

Простое заимствование позиции LP само по себе преобразует выигрыш из вогнутого в выпуклый, но обратите внимание, что если цена X *вырастет*, то заимствованная позиция LP фактически станет более дорогостоящей.

Рост цены приводит к росту заемной стоимости полнодиапазонного LP. При концентрированной ликвидности это можно уменьшить.

Если кто-то использует концентрированную ликвидность, он в конечном итоге создает линейные выплаты после p_a и p_b. Заимствование таких позиций может проявить интересные качества. Это особенно очевидно, если сочетать заимствование базового актива с заимствованием позиции LP. Можно было бы придумать целый ряд интригующих выплат:

1) Длинная пластинка. 2) Заимствуйте базовый актив + LP. 3) Займите LP + Long Underling. 4) Займите LP + короткий базовый актив.

Лично я называю эти синтетические комбинации CP — Curved Perpetuals, так как срок их действия не истекает. Когда структура выплат выпуклая, это — Convex Perpetual — также CP. Когда структура выплат вогнутая — вогнутая бессрочная — также CP!

Такие синтетические примитивы DeFi связаны с бессрочными опционами через четность пут-колл. Комбинируя Long Convex Perpetual с Long Concave Perpetual, мы получаем обычный Long Perpetual:

Это точно такая же концепция объединения длинного колл-опциона с коротким пут-опционом ATM, где реплицируется длинная акция (пунктирная диагональ) вместо длинного бессрочного.

Теоретически заимствование и построение таких КП может быть дорогостоящим и сложным с точки зрения транзакционных издержек и инженерии, но есть очень умные люди, работающие над этой проблемой, когда я пишу это, но пока нам остается использовать варианты Блэка-Шоулза, чтобы компенсировать кривизну позиций LP.

3. Совмещение опционов с позициями LP

Чтобы понять хеджирование LP, мы должны понять «греков», поскольку эти производные опциона позволяют нам сравнивать выплату между позицией LP и опционом. Мы можем видеть, как все греки ведут себя визуально ниже для опциона по истечении срока его действия:

Стоимость опционов колл и пут приближается к нулю, так как срок действия опциона истекает по цене исполнения. Греки делают акцент. Дельта становится круче, гамма достигает пиков, а тета ускоряется через пол.

Я создал интерактивный калькулятор вариантов, визуализированный выше со всеми греками, который, я думаю, будет полезен для людей за пределами этой аудитории, поэтому не стесняйтесь делиться им — https://www.desmos.com/calculator/x5vk8qkweg

Основные греки, которые на данный момент знают о вариантах, — это дельта, гамма и тета, поскольку мы начнем сравнивать их с греками LP, а затем перейдем к веге и другим грекам в части 5.

Здесь мы рассмотрим только первые три.

Провайдеры ликвидности получают тета через комиссионные, а покупатели опционов платят тета путем хеджирования.

Один компенсируется за вогнутость сборами в качестве LP.

За привилегию выпуклости платят тета в вариантах с премией авансом.

Для нашего пут-опциона важным выводом является то, что по мере приближения времени к экспирации стоимость опциона снижается ускоренным образом, запечатленным тетой фиолетовым цветом. Он становится более чувствительным к быстрым изменениям цены (подчеркнутые дельта и гамма) с более крутой формой красного цвета, когда его значение приближается к нулю.

Опцион пут приближается к экспирации. Обратите внимание, что дельта, гамма и тета ускоряются.

Если бы мы сравнили этих трех греков опциона с греками LP, когда цена почти не меняется, чувствительные к цене греки (дельта и гамма) в основном фиксируются с течением времени, но тета (строго положительная), выраженная в комиссиях LP, будет варьироваться в зависимости от торговой активности в пуле:

Тета всегда положительна, но она варьируется для нас как LP в зависимости от объема торгов. Я сохранил фиксированное движение цены для простоты визуализации, чтобы показать, что дельта и гамма не зависят от времени.

Если бы кто-то увеличил масштаб, то для того, чтобы генерировать тета за счет комиссий, сама цена должна была бы обладать небольшими движениями приращения тика, потому что, если нет возмущений в базовом активе из-за свопов в пуле, не может быть никаких комиссий, и мы потеряем тета.

Если нет объема >> нет свопов>> ожидаемая тета переходит к 0

Большие различия для трех греков между опционной и LP-позицией связаны с неистекающим/бессрочным свойством позиции LP, из-за чего тета не совпадает, и природой инварианта xy=k, из-за чего дельта и гамма не совпадают идеально.

Если бы мы подошли как можно ближе к тому, чтобы сопоставить опцион пут с концентрированной позицией ликвидности ниже, наши дельты и другие греки примерно совпадают, но они не на 100% идеальны (см. черную линию), мы также можем видеть, что отмена опциона пут красным цветом и позицией LP синего цвета могут немного отличаться:

Ближайший опцион пут имеет дельту -0,43 относительно дельты LP 0,435. Сумма между позицией пут и позицией LP должна быть идеальной черной линией выше, но обратите внимание на ее небольшую кривизну.

Что делать, если есть опцион на актив, который не имеет объема торгов на AMM? Тогда наши дельты со временем начнут расходиться:

Нам также нужно будет принять во внимание греческую вегу и то, как подразумеваемая волатильность может изменить такую структуру выплат в части 5, потому что такие случаи приводят к стимулу занимать такую позицию LP:

Опцион пут, подразумеваемая волатильность которого слишком высока, может сделать хеджирование позиции LP непрактичным.

Заслуга в приведенном ниже файле desmos принадлежит в основном Гийому Ламберу. Я оптимизировал вариант Блэка-Шоулза поверх одной позиции LP, чтобы динамически решить приблизительную хеджирование здесь:

Greeks Hedge для Uni v3

Greeks Hedge для Uni v3

Но как нам полностью соответствовать грекам по концентрированной позиции LP? Что ж, нам нужно либо изменить инвариант (подход PrimitiveFi), либо мы можем использовать численный подход, построив набор концентрированных позиций LP в Uniswap, сумма греков которых соответствует кривизне. Мы расскажем об этом в части 5 с помощью логнормальных распределений!

Комбинируя несколько позиций LP, мы можем численно сопоставить греков не только для обычных европейских опционов, но и для азиатских опционов в части 5.

Часть 5 — LP Hedging 2 — Греки

Uniswap Нелинейность доходности-выпуклости-риска/тета-гамма-волатильности. https://www.math3d.org/WvsEXvTWD

TLDR:

  • Показаны решения для греков Uniswap v2 и v3.
  • Решения для хеджирования азиатских, европейских, Bachelier опционов с Uniswap v3 доступны в интерактивном файле desmos.
  • Стратегии накопления хеджирования LP с показанными desmos.
  • Объяснение истории, приведшей к LVR и альтернативным производным.

Греки — Uniswap v2

Греки говорят о чувствительности стоимости позиции LP по отношению к другой переменной, такой как время, волатильность и процентные ставки. Мы рассмотрели дельту и гамма в части 4. Греки LP могут быть полезны, потому что вы можете сопоставить их с греческим опционом, чтобы компенсировать ценовые дивергенции, такие как дельта и гамма в качестве ценовых движений, изменений волатильности или временных потоков. Значение греческого языка говорит о влиянии на цену позиции LP.

Интерактивный файл desmos для v2: https://www.desmos.com/calculator/inwy6djhhm

Важно отметить, что греки отличаются для Uniswap от опциона в том смысле, что они убегают в бесконечности, поскольку цена позиции LP падает, визуализированная пунктирными линиями на x = 0 выше. Чтобы срезать эти хвосты, мы можем использовать концентрированные диапазоны с v3.

Греки — Концентрированная линейка LP v3

Файл Desmos для univ3 Греки: https://www.desmos.com/calculator/l8sqzlwkf5

Чем уже мы концентрируем диапазон p_a/нижний p_b/верхний, тем более чувствительными становятся наши дельта Δ и гамма-Γ, обратите внимание, что гамма отрицательна, что означает, что у нас есть вогнутая черная форма для нашей выплаты LP. Наши тета/Θ/ожидаемые сборы также увеличиваются, в то время как чувствительность процентных ставок ρ в значительной степени не затрагивается.

Но в то время как диаграмма выплат одной позиции LP может соответствовать варианту, другие греки могут этого не делать.

LP Greeks не похожи на обычные варианты: https://www.desmos.com/calculator/nyuw7sybin

Здесь у нас есть опцион пут с одним диапазоном LP, который мы сопоставили, но другие греки не изменчивы.

Уловка, которую можно использовать, заключается в том, что вместо того, чтобы пытаться хеджировать позицию LP, сначала начинают с данного опциона на рынке, который имеет цену исполнения (K) и его подразумеваемую волатильность (σ_iv) и время до истечения срока действия (t). Только после этого строится серия позиций LP, которые следуют логнормальному распределению, первоначально вдохновленному отпечатком ликвидности нормального распределения Дэна Робинсона для uniswap v3[1]. Детализация позиций LP, соответствующих логнормальному распределению в ценовом пространстве, позволяет сгладить греков:

Обратите внимание, как греки LP начинают напоминать вариант. По мере снижения цены множество позиций LP позволяет переключаться на следующий диапазон. Выход за пределы 7 позиций LP имеет уменьшающийся рост.

Как ни странно, очень сложно на 100% отменить выплату с логарифмическим нормальным распределением (поправьте меня, если я ошибаюсь), но если логнормальный отпечаток ликвидности приближается к дельта-функции Дирака, разница (визуализированная красным цветом выше) действительно исчезает. Например, азиатский опцион также следует логарифмическому нормальному распределению, но, как это ни парадоксально, он более чувствителен к цене, где Δ и Γ более резкие из-за волатильности азиатского опциона, равной 1/sqrt(3) обычного опциона, и поэтому оказывает меньшее влияние на дивергенцию выплат:

Использование европейского пут для хеджирования портфеля позиций LP по сравнению с использованием эквивалентного азиатского пут для хеджирования.

Одна позиция LP может приблизительно соответствовать европейскому варианту, но не учитывает сглаженных греков, но серия позиций LP сглаживает греков, но оставляет холм. Компромисс, который может быть улучшен с помощью потенциально скорректированного/искаженного отпечатка ликвидности в будущем.

Стратегии хеджирования LP

С другой стороны, если кто-то не заинтересован в попытке отменить вогнутую выплату LP, то файл desmos: https://www.desmos.com/calculator/khvbqzncg9 также можно использовать, чтобы увидеть, как могут работать различные выплаты. Ниже приведен пример серии выплат, которые могут возникнуть.

Переходы вертикального медвежьего спреда >> медвежьего пут >> своего рода длинный стрэддл. Обратите внимание, что опцион пут со временем будет расти из-за тета-распада, в то время как позиция LP может расти из-за комиссий.

Одна интересная причуда v3, которую я заметил, заключается в том, что если кто-то концентрирует ликвидность ровно на 75% или более ниже текущей цены для p_a и устанавливает p_b текущей цене, то стоимость актива X достигает пика в 25%, что может иметь некоторую стратегическую ценность для тех, кто пытается накопить.

Полезный инструмент v3 от Дэна Робинсона: https://twitter.com/danrobinson/status/1430678225945042945

Можно совместить такой единый диапазон с рыночным путом, чтобы получить следующую выплату https://www.desmos.com/calculator/a8y3pl3t03:

Параметры опциона пут могут быть извлечены из рынка. Со временем опцион будет падать в цене, если цена не будет снижаться достаточно быстро.

Такая стратегия по своей сути будет направлена на снижение цен, чтобы накапливать их в будущем, зарабатывая при этом комиссионные. Обратите внимание, что без опциона это становится более рискованным подходом, и в этом случае он может иметь смысл только в том случае, если исполнитель имеет невероятно сильную убежденность в отскоке. Однако ничто из этого не является финансовым советом, я просто занимаюсь математикой.

Глубокое погружение в историю, ведущее к LVR:

В части 4 я указал на взаимосвязь между вогнутостью и доходностью позиции LP и хочу расширить ее через призму истории и потери дивергенции LP / потери / потери по сравнению с перебалансировкой LP (LVR).

Талеб отметил, что первым человеком, записавшим нелинейную зависимость риска и доходности, был Луи Башелье [1] в «Теории спекуляции» [2] в 1900 году. Башелье приписывает его сходство уравнению теплопроводности Фурье [рис. 1]. Так совпало, что Ламберт использует подход Фейнмана-Каца, используемый для решения уравнений теплопроводности при решении значения концентрированного положения LP [3].

Рисунок 1. Страница 46 «Теории спекуляции». Константа, которая возведена в квадрат, dt и dx²!

Уравнение Башелье представляет собой лишь слегка перестроенную версию уравнения Блэка-Шоулза-Мертона с нулевой скоростью дрейфа [4].

Изменение цены актива с течением времени связано с волатильностью и кривизной.

LHS представляет собой тета-Θ, а гамма-Γ кривизны RHS, которая просто оказывается вогнутой из-за отрицательного знака. Затем Анжерис, Эванс и Читра [5] указывают, что позиция LP AMM должна иметь вогнутую функцию выплаты. Все, от CSMM Curve [6] до всего пространства симметричных кривых ликвидности Forgy & Lau [7], должно быть вогнутым для LP.

Поскольку у нас есть вогнутое равенство в нашем уравнении RHS, это означает, что позиция LP сама по себе должна иметь премию. Если этого не происходит, приведенное ниже равенство нарушается, и им можно воспользоваться, просто заимствуя такую позицию LP и желая части базового актива построить бессрочный длинный стрэддл и дождаться увеличения волатильности.

Эквивалентность Башелье / BSM Dynamic Hedging — говорит, что вогнутость определяет доходность, а выпуклость — стоимость. Выражается математически:

Выход ∝ Риск, умноженный на вогнутость (отрицательная выпуклость). Деривация БК в Приложении.

Решая для тета-греческого Uniswap [8], я заметил, что, вставив вторую производную позиции LP в приведенную выше формулу, мы получаем то же уравнение, что и LVR [9].

Уравнение 16. Если гамма равна -L/2sqrt(x)³ в эквиваленте Башелье, то получается тот же результат.
На рисунке 2 показана зависимость vol²/8 LVR от природы инвариантной цифры xy=k выше, которая порождает вогнутую выплату LP.

Это не совпадение, и разные люди с разных сторон пришли к одному и тому же выводу. Ламберт на самом деле несет скорость дрейфа [10], в то время как другие не учитывают ее [11].

Обратите внимание, что все эти модели предполагают гауссов, проистекающий первоначально из броуновского движения (BM) внутри леммы [ [12], что дает нам член − σ²/2, показанный также в окончательном уравнении Ангериса, Эванса и Читры [5], но мы знаем, что цифровые активы, включая стейблкоины, демонстрируют показатели Херста >0,5, что подразумевает фрактальное поведение BM [13Сепп и Рахмонов также указывают на то, что подход стохастической волатильности соответствует искаженной структуре подразумеваемой волатильности цифровых активов [14;].

Исследуя конец доходности логарифмической гистограммы самого длинного из сохранившихся цифровых активов, мы также видим негауссовский хвост.

Сглаживание плотности ядра гистограммы BTC-USD возвращается синим цветом.

Учитывая форму гистограммы, нам придется погрузиться глубоко под равномерное распределение полного диапазона Uniswap v2 и мимо гауссовского обрыва, чтобы добраться до дна тета-соответствия LVR, подходящего для LP.

Логарифмическая гистограмма 50+ распределений. Экспоненциальный и степенный законы ждут нас в бездне.
  • Увидимся в части 6 продолжение здесь!
  • Если вы чему-то научились, смело подписывайтесь на этого ежика в твиттере: @CK_2049

Отказ от ответственности: Это исследование предназначено только для общих информационных целей. Фонд Uniswap был достаточно любезен, чтобы спонсировать публикацию этого исследования. Он не является инвестиционным советом, рекомендацией или предложением купить или продать какие-либо инвестиции и не должен использоваться при оценке достоинств принятия какого-либо инвестиционного решения. На него не следует полагаться для бухгалтерских, юридических или налоговых консультаций или инвестиционных рекомендаций. Этот пост отражает текущее мнение автора. Мнения, отраженные в настоящем документе, могут быть изменены без обновления.

Приложение

Вывод эквивалентности Башелье.

LVR от Bachelier эквивалент позиции Uniswap LP.

Часть 6 — Построение дистрибутивов LP

Гиперболическое распределение [1], первоначально разработанное для моделирования эоловых процессов [2] (динамика песка в пустыне), находит применение при моделировании доходности финансовых активов с учетом гибкости его параметров [3].
Налево: Статистические распределения можно просмотреть на логарифмическом графике Y, чтобы понять их форму. Гиперболическое распределение имеет форму гиперболы, в то время как пунктирное распределение Гаусса можно рассматривать как параболу из-за члена e^-x²/2. Правильно: Посмотреть на хвосты распределения можно на графике логлога. Распределения степенных законов не проявляют распада в логлогатуре. Распределения можно смешивать вместе, комбинируя их и используя параметр весов.

Ценовое поведение цифровых активов

TLP может быть полезно знать динамику цен на свои активы. Если мы посмотрим на историю старейшего цифрового актива BTC с 2015 года в логарифмическом графике Y с более чем 3091 ежедневной доходностью, мы заметим, что, за исключением пары выбросов, обобщенное гиперболическое распределение может исторически хорошо подходить для ежедневных доходностей.

Исключениями из нашего соответствия являются выбросы справа и слева, которые можно посмотреть на логарифмическом графике, где мы находим хвост отрицательной доходности красным цветом и положительным выбросом синего цвета.

Хвосты кажутся похожими, но есть некоторое несоответствие в выбросах справа. Я использую оценку плотности ядра (KDE) для сглаживания гистограммы.

Левый и правый хвосты ежедневной доходности BTC с 01.01.2015 с асимметрией на правом хвосте.

Это означало бы, что сочетание гиперболических и асимметричных степенных законов может описать динамику BTC. Обратите внимание, что я использую BTC, поскольку это самый старый временной ряд и наименее волатильный из всех цифровых активов, а это означает, что все другие цифровые активы для LP будут демонстрировать еще более волатильное поведение.

Моделирование динамики цен

Существуют десятки статистических распределений, которые можно смешивать, чтобы имитировать такое изменчивое поведение. Например, популярный подход в tradfi состоит в том, чтобы использовать геометрическое броуновское движение (логнормальное распределение) и объединить его с процессом Леви (распределение Пуассона) для учета скачков цены.

Смоделированные траектории, визуализированные Эриком Барду и Антонисом Папапантолеоном из лекции о процессах Леви.

Я создал библиотеку из более чем 50+ статистических распределений в desmos, чтобы помочь пользователям изучить распределения и то, как позиция LP может реплицировать эти распределения в Uniswap с интегралами Римана:

Ссылка Desmos для Statistical Distribution Library: https://www.desmos.com/calculator/4ey6hbevzf

Интересной особенностью desmos является возможность перехода на график логлога, чтобы можно было увидеть, как ведут себя хвосты каждого статистического распределения.

Обратите внимание, что интегралы Римана не работают на логлогарифмическом графике, вместо этого переключитесь на линейный график для функций интегрирования.

Если кто-то хочет сравнить, какое распределение лучше всего соответствует его данным, он использует тест Колмогорова-Смирнова для сравнения кумулятивных функций распределения с эмпирическими данными кумулятивной гистограммы, но можно также использовать подход обратной стороны салфетки ниже, просто предполагая наихудшее возможное распределение.

Что делать, если вы понятия не имеете о том, что будет разворачиваться с учетом ограниченных данных? Что ж, мы можем спросить себя, каково наихудшее возможное распределение в ценовом пространстве, хвосты которого являются бесконечными степенными законами. Одним из таких распределений является распределение Коши (в ценовом пространстве мы получаем распределение Лога-Коши)).

Распределение Коши не хочет следовать закону больших чисел и имеет собственный разум. https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution#/media/File:Mean_estimator_consistency.gif

Свойство распределения Коши состоит в том, что закон больших чисел к нему не применим. Вы можете взять его среднее значение за последние 30 дней, думая, что видите закономерность, только для того, чтобы обмануть вас. Одним из забавных примеров такого поведения может быть среднее значение пары DOGE/ETH с недостатком ликвидности.

Несмотря на то, что Dogecoin и Ethereum уже более 7 лет, процессы скачка этой пары имеют свой собственный разум, что затрудняет применение статистических приближений.
Гистограмма логлога справа имеет растущие выбросы. Известное мне распределение с растущими выбросами в loglog — это распределение Лога-Коши.

Мы видим, как выглядит распределение Коши в ценовом пространстве относительно логнормального распределения:

Слева: Логлогарифмический график логнормального распределения в виде параболы, степенной закон Коши — линейный хвост, выделенный красным цветом, а логарифмическое распределение Коши — черным пунктиром Справа: ценовое пространство тех же распределений в диапазоне от [$0,бесконечность).

Log-Cauchy не так плох, как позиция Uniswap v2 с полным диапазоном, но это вторая худшая вещь. Учитывая наши знания об оптимизации эффективности капитала из частей 1 и 2, отсечка около 80–90% для нижней границы может помочь улучшить ее, поскольку не нужно предоставлять ликвидность до нуля, видя, как распределение начинает расти по мере приближения цены к нижней границе.

Нижняя граница в 80–90% от текущей цены 1 может быть стартом для ограничения диапазона, но я не рекомендую инвестировать/покупать/продавать какой-либо актив с любой такой динамикой, ничто из этого не является финансовым советом. Лучше всего подождать и узнать больше об активе.

О степенных законах в сложных системах

Но может ли степенное распределение, подобное распределению Коши, со временем стать тонкохвостым распределением? Невозможно избавиться от степенных явлений в такой сложной системе, как криптография, которая постоянно развивается (см. приложение), но можно снизить степень неопределенности.

Если хорошенько подумать, то в какой-то момент у всех активов был момент неопределенности в их начале. На самом деле, с развитием AMM мы обнаружили удивительную связь, недоступную на традиционных финансовых рынках, где люди используют законы квадратного корня для статистической оценки влияния цен. С помощью AMM у нас есть возможность точно предсказать, как на цену повлияют просто в зависимости от концентрированной ликвидности, нет необходимости в объеме или волатильности для определения влияния цены в данный момент времени. Доведите аргумент до крайности и предположим, что Джером Пауэлл скачает MetaMask и решит LP в DOGE/ETH с помощью своего денежного принтера и предоставит триллионы долларов ликвидности в такой паре. Каждый человек, пытающийся продать DOGE, вряд ли негативно повлияет на цену, поскольку распределение доходности со временем перейдет в режим более низкой волатильности из чего-то, что будет менее похоже на распределение Коши.

Таким образом, интересное понимание здесь заключается в том, что можно снизить волатильность актива, просто перегрузив AMM ликвидностью в течение достаточно длительного времени, если LP с глубокими карманами достаточно смел. Хотя я сомневаюсь, что у многих людей есть цифровой денежный принтер, чтобы повысить свою храбрость.

Один из способов преодолеть это без денежного принтера для криптоиндустрии — создать активы на блокчейне, которые могут дать LP гарантии постоянных покупок. Ряд таких токенов может быть: акции с большой капитализацией, приносящие дивиденды (приобретаемые пенсионными фондами для пенсионеров), облигации (приобретаемые банками и корпорациями для краткосрочного финансирования), форекс (единая, глобальная, централизованная фиатная валюта трудно достичь, поэтому пары юаней, доллары США, евро будут продолжать использоваться) и товары (еда и отопление всегда будут востребованы). Можно чувствовать себя гораздо более комфортно в качестве LP, предоставляющего ликвидность в паре LP McDonalds/Corn, зная, что всегда будет некоторый спрос, чтобы не отпугнуть ликвидность, и даже в случае потери дивергенции, LP может быть спокоен, зная, что он будет загружен тем, что он будет владельцем либо кучи производителей счастливых блюд, либо кучи кукурузы.

  • Спасибо, что прочитали, если вы узнали что-то полезное, не стесняйтесь подписываться на этого ежика в твиттере: @CK_2049

Отказ от ответственности: Это исследование предназначено только для общих информационных целей. Фонд Uniswap был достаточно любезен, чтобы спонсировать публикацию этого исследования. Он не является инвестиционным советом, рекомендацией или предложением купить или продать какие-либо инвестиции и не должен использоваться при оценке достоинств принятия какого-либо инвестиционного решения. На него не следует полагаться для бухгалтерских, юридических или налоговых консультаций или инвестиционных рекомендаций. Этот пост отражает текущее мнение автора. Мнения, отраженные в настоящем документе, могут быть изменены без обновления.

Приложение

О степенных законах и о том, почему они по-прежнему будут действовать в криптовалюте и трэдфи:

Замечательным недавним примером (08.01.2023) является совместно развивающаяся система DeFi, в которой Curve была взломана через Vyper, что, в свою очередь, влияет на другие протоколы, такие как Aave, что влияет на принятие решений другими пользователями о выводе средств. Наличие эксплойтов нулевого дня приводит к тому, что эта система постоянно развивается и переводится в неравновесные условия и генерирует хвостовые события.

Код для извлечения исторических данных из Интернета:

import math
import numpy as np
import yfinance as yf #make sure to ‘pip install yfinance’
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.animation as animation

#Download BTC/EUR as default
ticker1=»BTC-USD» #^GSPC, ^IXIC, CL=F,^OVX, GC=F, BTC-USD, JPY=X, EURUSD=X, ^TNX, TLT, SHY, ^VIX, LLY, XOM
ticker2=»EURUSD=X»

t_0=»2017-07-07″
t_f=»2023-07-07″

data1=yf.download(ticker1, start=t_0, end=t_f)
data2=yf.download(ticker2, start=t_0, end=t_f)

data3=data1

dat=data1[‘Close’]
dat = pd.to_numeric(dat, errors=’coerce’)
dat=dat.dropna()
dat_ret=dat.pct_change(1)

x = np.array(dat.values)

dat_recurrence=dat/max(dat)
xr = np.array(dat_recurrence.values)

fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(6.5,3))

# Plot the logistic map in the first subplot
ax1.plot(range(len(x)), x, ‘#056398’, linewidth=.5)
ax1.set_xlabel(‘Time’)
ax1.set_ylabel(str(ticker1)+’/’+str(ticker2)+’ Price Ratio’)
ax1.set_title(str(ticker1)+’/’+str(ticker2)+’ Fluctuations since ‘+ str(t_0))
ax1.set_yscale(‘log’)
n_end=len(x)

# Create a recurrence plot of the logistic map in the second subplot
R = np.zeros((n_end, n_end))
for i in range(n_end):
for j in range(i, n_end):
if abs(xr[i] — xr[j]) < 0.01:
R[i, j] = 1
R[j, i] = 1
ax2.imshow(R, cmap=’viridis’, origin=’lower’, vmin=0, vmax=1)
ax2.set_xlabel(‘Time step’)
ax2.set_ylabel(‘Time step’)
ax2.set_title(‘Recurrence Plot of ‘ +str(ticker1)+’/’+str(ticker2))

series = pd.Series(dat_ret).fillna(0)

fig, ax = plt.subplots()

density = stats.gaussian_kde(series)
series.hist(ax=ax, bins=400, edgecolor=’black’,color=’#25a0e8′, linewidth=.2,figsize=(6.5,2),histtype=u’step’, density=True)

ax.set_xlabel(‘Log Returns’)
ax.set_ylabel(‘Log Frequency’)
ax.set_title(‘LogLog Histogram of Returns ‘ +str(ticker1)+’/’+str(ticker2))
ax.set_yscale(‘log’)
ax.set_xscale(‘log’)
ax.grid(None)
plt.scatter(series, density(series), c=’#25a0d8′, s=6)

fig, ax2 = plt.subplots()

series.hist(ax=ax2, bins=400, edgecolor=’black’,color=’#25a0e8′, linewidth=.2,figsize=(6.5,2),histtype=u’step’, density=True)

ax2.set_xlabel(‘Log Returns’)
ax2.set_ylabel(‘Log Frequency’)
ax2.set_title(‘Log-y Histogram of Returns ‘ +str(ticker1)+’/’+str(ticker2))
ax2.set_yscale(‘log’)
ax2.grid(None)
plt.scatter(series, density(series), c=’#25a0d8′, s=6)

plt.show()

Гиперболические распределения и модели смесей

import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy import stats

p, a, b, loc, scale = 1, 1, 0, 0, 1
rnge=15
x = np.linspace(-rnge, rnge, 1000)

#Mixture model for tails
w=.999
dist1=stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale)
dist2=stats.cauchy.pdf(x, loc, scale)
mixture=np.nansum((w*dist1,(1-w)*dist2),0)

plt.figure(figsize=(16,8))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.title(«Generalized Hyperbolic Distribution Log-Y»)
plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale), label = ‘GH(p=1, a=1, b=0, loc=0, scale=1)’, color=’black’)
plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘red’, alpha = .5, label=’GH(p=1, 0<a<1, b=0, loc=0, scale=1)’)
[plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘red’, alpha = 0.2) for a in np.linspace(1, 2, 10)]

plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p,a,b,loc, scale),
color = ‘blue’, alpha = 0.2, label=’GH(p=1, a=1, -1<b<0, loc=0, scale=1)’)

plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p,a,b,loc, scale),
color = ‘green’, alpha = 0.2, label=’GH(p=1, a=1, 0<b<1, loc=0, scale=1)’)

[plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘blue’, alpha = .2) for b in np.linspace(-10, 0, 100)]

[plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘green’, alpha = .2) for b in np.linspace(0, 10, 100)]

plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, loc, scale), label = ‘N(loc=0, scale=1)’, color=’purple’, dashes=[3])
plt.plot(x, stats.laplace.pdf(x, loc, scale), label = ‘Laplace(loc=0, scale=1)’, color=’black’,dashes=[1])
plt.plot(x, mixture, label = ‘Cauchy(loc=0, scale=1)’, color=’blue’,dashes=[1])
plt.xlabel(‘Returns’)
plt.ylabel(‘Log Density’)
plt.ylim(1e-10, 1e0)
plt.yscale(‘log’)

x = np.linspace(0, 10000, 10000)
dist1=stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale)
dist2=stats.cauchy.pdf(x, loc, scale)
mixture=np.nansum((w*dist1,(1-w)*dist2),0)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.title(«Generalized Hyperbolic Distribution Tail Log-Y Log-X»)
plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale), label = ‘GH(p=1, a=1, b=0, loc=0, scale=1)’, color=’black’)
plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘red’, alpha = .5, label=’GH(p=1, 0<a<1, b=0, loc=0, scale=1)’)
[plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘red’, alpha = 0.2) for a in np.linspace(1, 2, 10)]

plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p,a,b,loc, scale),
color = ‘blue’, alpha = 0.2, label=’GH(p=1, a=1, -1<b<0, loc=0, scale=1)’)

plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p,a,b,loc, scale),
color = ‘green’, alpha = 0.2, label=’GH(p=1, a=1, 0<b<1, loc=0, scale=1)’)

[plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘blue’, alpha = .2) for b in np.linspace(-10, 0, 100)]

[plt.plot(x, stats.genhyperbolic.pdf(x, p, a, b, loc, scale),
color = ‘green’, alpha = .2) for b in np.linspace(0, 10, 100)]

plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, loc, scale), label = ‘Gaussian’, color=’purple’, dashes=[3])
plt.plot(x, stats.laplace.pdf(x, loc, scale), label = ‘Laplace(loc=0, scale=1)’, color=’black’,dashes=[1])
plt.plot(x, stats.cauchy.pdf(x, loc, scale), label = ‘Cauchy(loc=0, scale=1)’, color=’blue’,dashes=[1])

#Heavy tail mix model
plt.plot(x, mixture, label = ‘GH+Cauchy Mix(loc=0, scale=1)’, color=’red’,dashes=[1])

plt.xlabel(‘Log Returns’)
plt.ylabel(‘Log Density’)
plt.ylim(1e-10, 1e0)
plt.xlim(1e-0,1e4)
plt.xscale(‘log’)
plt.yscale(‘log’)
plt.legend(loc=»upper right»)
plt.subplots_adjust(right=1)
plt.show()

Источник